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（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)
已知函數f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.
（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數k的取值范圍；
（2）設函數F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數f(x)與g(x)的導函數；試問是否存在實數a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

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一、選擇題：B B AD C/  BDBCB

二、填空題：

11、10     12、3     13、21    14、4     15、

三、解答題：

16、【解析】(1)……………………3分

的最小正周期;……………………6分

(2) 將函數f(x)沿向量得到函數g(x)= ……9分

當即 時，函數g(x)單調遞減，

故所求區間為.………………………………………12分

17、解：∵∴

  ①…………5分

又∵

∴②……10分

由①②知，即a的取值集合M=[2，3].……………………12分

18、【解析】（1）證明：由已知AE⊥面CDO，，所以CD⊥AE

又CD⊥AD，AD∩AE =A

故CD⊥平面ADE，

故平面ABCD⊥平面ADE；…………………………………………4分

（2）由（1）知CD⊥AD，CD⊥ED，

故∠ADE為二面角A-CD-E的平面角．…………………………………………6分

在Rt△ADE中，sin∠ADE=,∠ADE=

故平面ABCD與平面CDE所成角的平面角的大小為……………………………………8分

（3）凸多面體ABCDE為四棱錐E?ABCD，V_E?ABCD = ．………………………………12分

19、【解析】（1）由b₂＜a₃，得ab＜a + 2b．………………………………1分

∵1＜a＜b，∴ab＜3b，則1＜a＜3．………………………………3分

又a為正整數，∴a = 2．………………………………4分

∵a_m + 1 = b_n，∴2 + (m ? 1)b + 1 = b?2^{n ? 1}．

∴b =．………………………………6分

∵b∈N*，2 ^{n ? 1} ? m + 1 = 1．

故b = 3．………………………………8分

（2）∵a_n = 2 + (n ? 1)?3 = 3n ? 1，b_{2n + 1} = 3?2²ⁿ，………………………………10分

∴c_n ==．

∴當n = 2或n = 3時，c_n取得最小值，最小值為?12．………………………………13分

20、【解析】（1）依題意，f ′(1) = -1 + 2b + c = 0，f ′(m) = -m² + 2bm + c = 1．………………………1分

∵-1＜b＜c，∴-4＜-1+ 2b + c＜4c，∴c＞0．

將c = 1 ? 2b代入-1＜b＜c，得?1＜b＜．………………………………3分

將c = 1? 2b代入-m² + 2bm + c = 1，得 -m² + 2bm ? 2b = 0．

由= 4b² - 8b≥0，得b≤0或b≥2．………………………………5分

綜上所述，-1＜≤0．………………………………6分

（2）由f′(x)＜1，得 -x² + 2bx ? 2b＜0．

∴x² ，………………………………8分

易知為關于的一次函數．………………………………9分

依題意，不等式g()＞0對-1＜≤0恒成立，

∴得x≤或x≥．………………………………12分

∴k≥，即k的最小值為．………………………………13分

21、【解析】（1）設△PF₁F₂的內切圓與PF₁、PF₂的切點分別為D、E，則|PD| = |PE|，|F₁D| =|F₁Q|，

|F₂E| = |F₂Q|．

∵|PF₁| ? |PF₂| = 2a，∴|F₁Q| ? |F₂Q| = 2a，

∴Q(1，0)為雙曲線的右頂點，即a = 1．………………………………3分

又|F₁Q| = a + c = 4，∴c = 3，則b² = c² ? a² = 8．

故雙曲線方程為．………………………………5分

（2）設R(t≠0)、N(x₀，y₀)，由R、B、N三點共線，得，即=，于是解得，則R．………………………………6分

∵，，

∴．………………………………8分

又點N在雙曲線上，∴．

∴．………………………………9分

∵x₀≥1，∴AN?AR＜0，∴∠RAN為鈍角．

又∠RAN與∠MAN互補，∴∠MAN為銳角．………………………………11分

故點A在以MN為直徑的圓的外部．………………………………13分