題目列表(包括答案和解析)
、2002年的國際數學大會會標如右圖所示，它是由四個相同的直角三解形與中間的小正方形拼成一個大正方形。若直角三角形中較小銳角為
，大正方形的面積是1，小正方形的面積是
，則
的值為（ ）
A．1 B．
C．
D．－
A.
B.
C.
D.
一、選擇題：B B AD C/ BDBCB
二、填空題：
11、10 12、3 13、21
14、4 15、
三、解答題：
16、【解析】(1)
……………………3分
的最小正周期
;……………………6分
(2) 將函數f(x)沿向量
得到函數g(x)=
……9分
當
即
時，函數g(x)單調遞減，
故所求區間為
.………………………………………12分
17、解：∵
∴
①…………5分
又∵
∴
②……10分
由①②知
，即a的取值集合M=[2，3].……………………12分
18、【解析】（1）證明：由已知AE⊥面CDO，
，所以CD⊥AE
又CD⊥AD，AD∩AE =A
故CD⊥平面ADE，
故平面ABCD⊥平面ADE；…………………………………………4分
（2）由（1）知CD⊥AD，CD⊥ED，
故∠ADE為二面角A-CD-E的平面角．…………………………………………6分
在Rt△ADE中，sin∠ADE=
,∠ADE=
故平面ABCD與平面CDE所成角的平面角的大小為……………………………………8分
（3）凸多面體ABCDE為四棱錐E?ABCD，VE?ABCD = 
．………………………………12分
19、【解析】（1）由b2＜a3，得ab＜a + 2b．………………………………1分
∵1＜a＜b，∴ab＜3b，則1＜a＜3．………………………………3分
又a為正整數，∴a = 2．………………………………4分
∵am + 1 = bn，∴2 + (m ? 1)b + 1 = b?2n ? 1．
∴b =
．………………………………6分
∵b∈N*，2 n ? 1 ? m + 1 = 1．
故b = 3．………………………………8分
（2）∵an = 2 + (n ? 1)?3 = 3n ? 1，b2n + 1 = 3?22n，………………………………10分
∴cn =
=
．
∴當n = 2或n = 3時，cn取得最小值，最小值為?12．………………………………13分
20、【解析】（1）依題意，f ′(1) = -1 + 2b + c = 0，f ′(m) = -m2 + 2bm + c = 1．………………………1分
∵-1＜b＜c，∴-4＜-1+ 2b + c＜
將c = 1 ? 2b代入-1＜b＜c，得?1＜b＜
．………………………………3分
將c = 1? 2b代入-m2 + 2bm + c = 1，得 -m2 + 2bm ? 2b = 0．
由
= 4b2 - 8b≥0，得b≤0或b≥2．………………………………5分
綜上所述，-1＜
≤0．………………………………6分
（2）由f′(x)＜1，得 -x2 + 2bx ? 2b＜0．
∴x2 
，………………………………8分
易知
為關于的一次函數．………………………………9分
依題意，不等式g()＞0對-1＜≤0恒成立，
∴
得x≤
或x≥
．………………………………12分
∴k≥，即k的最小值為．………………………………13分
21、【解析】（1）設△PF
|F2E| = |F2Q|．
∵|PF1| ? |PF2| =
∴Q(1，0)為雙曲線的右頂點，即a = 1．………………………………3分
又|F1Q| = a + c = 4，∴c = 3，則b2 = c2 ? a2 = 8．
故雙曲線方程為
．………………………………5分
（2）設R
(t≠0)、N(x0，y0)，由R、B、N三點共線，得
，即
=
，于是
解得
，則R
．………………………………6分
∵
，
，
∴
．………………………………8分
又點N在雙曲線上，∴
．
∴
．………………………………9分
∵x0≥1，∴AN?AR＜0，∴∠RAN為鈍角．
又∠RAN與∠MAN互補，∴∠MAN為銳角．………………………………11分
故點A在以MN為直徑的圓的外部．………………………………13分
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