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湖南省株洲市2009屆高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測（一）

數(shù)學(xué)試題（理科）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式

如果事件A、B相互獨立，那么其中，c表示底面周長、l表示斜高或

母線長

如果事件A在1次實驗中發(fā)生的概率是球的體積公式

P，那么n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k

次的概率其中R表示球的半徑

第Ⅰ卷（選擇題）

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．答案要寫在答題卷上。

1．復(fù)數(shù)的虛部為

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A．1 B．4 C．－ D．－

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2．設(shè)集合，B=≤0，那么“”是“”的

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既非充分又非必要條件

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3．已知，則＝

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A． B． C． D．

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4．記等差數(shù)列的前項和為，若，，則直線

的斜率為

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A．－2 B． C．－ D．

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5．設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值為

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A． 2 B． 4 C． D．

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6．平面與平面外有一條直線，如果在與內(nèi)的射影分別是直線和直線

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，給出下列四個命題：

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①∥∥； ②∥∥；

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③⊥⊥； ④與相交與相交；

其中正確的命題個數(shù)是

A.1 B.2 C.3 D.4

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7．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為3, 且

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A．4 B．2 C．－2 D．

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8．已知橢圓的焦點為F₁、F₂，點M在該橢圓上，且則點M

到y(tǒng)軸的距離為

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A． B． C． D．

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9．棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，E，F(xiàn)分別為棱

AB，A₁D₁的中點，則經(jīng)過E，F(xiàn)球的截面面積的最小值為

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A． B． C． D．

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10．高考資源網(wǎng)設(shè)函數(shù)，且，，則下列結(jié)論不正確的是

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A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題）

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二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.

11．高考資源網(wǎng)若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式中的常數(shù)項為___________.

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12．經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與直線相切的圓中，面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________.

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13．從平行六面體的8個頂點中任取5個頂點為頂點，恰好構(gòu)成四棱錐的概率為________.

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14．已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，則．

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15．早期的計算機在使用數(shù)據(jù)中，常常要進行八進制與十進制的轉(zhuǎn)換．如：十進制的8轉(zhuǎn)換成八進制是10，記作；八進制的23轉(zhuǎn)換成十進制是19，記作．常常還要進行八進制的四則運算．如：；．

請計算下列兩個八進制的運算：

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；＝______.

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三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16．（本題滿分12分）已知函數(shù)（，），且函數(shù)的最小正周期為．

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(Ⅰ)求函數(shù)的解析式并求的最小值；

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(Ⅱ)在中，角A，B，C所對的邊分別為，若=1，,

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且，求邊長．

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17．（本小題滿分12分）湖南衛(wèi)視主持了一種有獎過關(guān)游戲，該游戲共有兩關(guān)，只有過了第一關(guān)，才能玩第二關(guān)，每關(guān)最多玩兩次，連續(xù)兩次失敗游戲終止．過關(guān)者可獲獎金：只過第一關(guān)獲獎金1000元，兩關(guān)全過獲獎金4000元．通過電腦抽獎，王同學(xué)有幸參與了上述游戲，王同學(xué)每一關(guān)每次過關(guān)的概率均為，各次過關(guān)與否均互不影響．在游戲過程中，王同學(xué)不放棄所有機會．

(Ⅰ)求王同學(xué)獲得1000元獎金的概率；

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(Ⅱ)求王同學(xué)獲得獎金額的數(shù)學(xué)期望E．

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18．（本小題滿分12分）已知直角梯形中, , 過作,垂足為，的中點,現(xiàn)將沿折疊使二面角D－AE－C的平面角大小為.

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(Ⅰ) 求證：；

(Ⅱ) 求異面直線GF與BD所成的角；

(Ⅲ) 求二面角A－BD－C的大小．

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19．（本小題滿分13分）由于種種原因，某市重點企業(yè)A公司一直虧損，2008年下半年又遭受全球金融危機的沖擊，致使公司停產(chǎn)，瀕臨倒閉，累計負(fù)債32000萬元．經(jīng)反復(fù)研究，市政府決定對該公司進行緊急援助，于2009年元旦一次性給A公司無息貸款32000萬元，用于支付一切債務(wù)，同時對公司進行了改制，使A公司起死回生．為了公司可持續(xù)發(fā)展，從2009年起，政府還將提供無息貸款用于A公司硬件改造，其中2009年提供5000萬元，以后每年都比上年減少．據(jù)估算，2009年度將獲利潤4000萬元，今后的利潤每年都會比上年增加．

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（Ⅰ)設(shè)年內(nèi)(2009年為第一年) 無息貸款總額為萬元，公司總利潤為萬元.

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寫出的表達(dá)式；

(Ⅱ) 經(jīng)過幾年公司總利潤才能超過無息貸款總額?

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20．（本小題滿分13分）已知函數(shù)，設(shè)．

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(Ⅰ)求在（0，3]內(nèi)的最小值；

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(Ⅱ)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象與的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由．

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21．（本小題滿分13分）已知拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上兩個不同的點A,B的切線相交于點P，動點G滿足

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(Ⅰ)若P在直線上,求的取值范圍；

試題詳情

(Ⅱ)是否存在實數(shù)，使G在曲線C上，若存在，求，若不存在說明理由．

株洲市2009屆高三年級教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測（一）

試題詳情

命題人：黃小紅(株洲縣五中) 趙家早(株洲縣五中) 郭珂珊(瀟湘雙語)

審題人：郭珂珊 (瀟湘雙語) 趙家早(株洲縣五中) 黃小紅(株洲縣五中)

第Ⅰ卷（選擇題）

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．答案要寫在答題卷上。

題號

答案

第Ⅱ卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.

11. －160 12． 13.

14．－； 15. （1）617 （2）4040

三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.解（Ⅰ），……2分

由得，……… 3分

所以，( 4分)

所以 ………6分

（Ⅱ）由f(B)=1得，解得 ………8分

又由知，所以 ………10分

由余弦定理知

所以 ……… 12分

17．解：記“第一關(guān)第一次過關(guān)”為事件A₁，“第一關(guān)第二次過關(guān)”為事件A₂；記“第二關(guān)第一次過關(guān)”為事件B₁，“第二關(guān)第二次過關(guān)”為事件B₂；………1分

（Ⅰ）王同學(xué)獲得1000元獎金的概率為：

則 ………5分

（Ⅱ）王同學(xué)獲得獎金額可能取值為：0 元，1000 元， 4000 元 ………6分

(7分) ………8分

…………10分

(另解：＝1－－＝ …………10分)

……… 12分

18. （本小題滿分12分）

解（Ⅰ）證明：取中點，連接,, 又G為AD中點

， GH

， ………分

同理可證 , ………3分

, ……… 4分

（Ⅱ）延長CE，過D作DO垂直直線EC于O，易證DO⊥平面ABCE，AE⊥EC，AE⊥DE，二面角D－AE－C的平面角大小為.

∴

∵DE＝,∴OE=1,DO=2

以為原點，為y軸正方向建立坐標(biāo)系O－xyz （圖略）

則D（0，0，2），A（2，1，0），E（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），

H（2，，0），G（1，，1），F(xiàn)（0，，0）………6分

，

∴異面直線GF與BD所成的角為 ………8分

(Ⅲ)取DC中點P，易證OP⊥平面BCD，所以面BCD一個法向量為 … 9分

（0,1,0）, (-2,-2,2),設(shè)平面的法向量為

取x=1,得y=0,z=1,得平面的一個法向量為 ……… 10分

∴ ……… 11分

∴二面角A－BD－C的大小為120°�！� 12分

19．（本小題滿分13分）

解：(Ⅰ)第1年貸款（32000＋5000）萬元，第2年5000×萬元…，第n年貸款5000×萬元 …1分

所以貸款總額為：＝32000+5000＋5000×＋…＋5000×＝52000－20000 … 3分

同理：第1年利潤4000萬元，第2年利潤4000×（1＋）萬元，…，

第n年利潤4000×萬元 …………4分

＝4000＋4000×＋……＋4000×＝12000［－1］ ………… 6分

(Ⅱ) 由題意＞0，（7分） 12000［－1］>52000－20000 ……8分

化簡得，3×＋5×－16＞0? …………9分

設(shè)x＝，3x²－16x＋5＞0?∴x＜（舍)或x＞5 …………10分

?∴>5，而……………11分

∴n≥6. （12分） ∴經(jīng)過6年公司總利潤才能超過無息貸款總額 ………13分

20．（本小題滿分13分）

解.(Ⅰ) ），則 ………1分

因為, 所以當(dāng)時，對恒成立，

故F(x)在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，（2分），

而F(x)在x=3處連續(xù) ，所以 ………3分

當(dāng)時，時，時，所以F(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增�！�4分

所以 ………5分

綜上所述，當(dāng)時，，當(dāng)時，。………6分

（Ⅱ）若的圖象與的圖象恰有四個不同交點，即有四個不同的根， ………7分

亦即有四個不同的根。 ………8分

令，

則。………………………9分

當(dāng)變化時的變化情況如下表：

(-1,0)

(0,1)

(1,)

的符號

的單調(diào)性

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

由表格知：�！�11分

畫出草圖和驗證可知，當(dāng)時，

高考資源網(wǎng)版權(quán)所有……………12分

函數(shù)的圖象與的圖象恰好有四個不同的交點. …………………13分

21．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）設(shè)A，()

∵，∴ ……………1分

則A點的切線方程為

B點的切線方程為 …………2分

…………3分

P在直線上 ∴=, ……………4分

|AF|+|BF|=

……………5分

……………6分

∵=,∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

∴ 取值范圍為 …………8分

（Ⅱ）∵_，∴

， ……………9分

設(shè)A，由（1）知

∴

…………10分

若G在拋物線C上，則 …………11分

…………12分

，而

故存在使G在拋物線C上。 ……………13分

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