湖北省襄陽高級2009年高三年級檢測試題（二）
數學文科
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，）
1．集合A={－1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，則A
B= （ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1}
2．若
，則下列結論不正確的是 （ ）
A．a2<b2 B．ab<b
D．|a|+|b|>|a+b|
3．已知數列
滿足
，則
= （ ）
A．0 B．
C． 
D．
4．已知
，則
（ ）
A．2
B．
C．1 D．0
5．已知向量a、b、c中任意兩個都不共線，并且a+b與c共線，b+c與a共線，那么a＋b＋c等于 （ ）
A．a B．b C．c D．0
6．若
，則
= （ ）
A．
B．
C．
D．
7．將函數
的圖象按向量
平移后得到函數
的圖象，若函數滿足
，則向量的坐標是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．定義在R上的函數
滿足
．
為的導函數，
已知函數
的圖象如右圖所示.若兩正數
滿足
，則
的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
是首項為1，公比為
的等比數列，
．（其中
表示不大于
的最大整數，例如
），如果數列
為單調遞增數列，那么公比的取值范圍是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
10．已知
，
，若
，則△ABC是直角三角形的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題：（本大題共5個小題，每小題5分，共25分。）
11．函數
的反函數是
12．若a+1>0,則不等式
的解集為
13．在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC面積為，則
的值為
14．若數列
的通項公式分別是
，
對任意
恒成立，則常數
的取值范圍是
15．已知函數
（a是常數且a>0）．對于下列命題：
①函數f(x)的最小值是－1；②函數f(x)在R上是連續的；③函數f(x)在R上存在反函數；
④對任意
且
，恒有
．
其中正確命題的序號是____________________．
三、解答題：（本大題共6個小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
16．（12分）
中內角
的對邊分別為
，向量
且
（Ⅰ）求銳角
的大小，
（Ⅱ）如果
，求的面積
的最大值
17．（12分）設
是公比大于1的等比數列，
為數列的前
項和．已知
，
且
構成等差數列．
（1）求數列的通項公式．
（2）令
求數列
的前項和
．
18．（12分）設函數
圖像的一條對稱軸是直線
。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求函數
在
上的單調增區間；
（Ⅲ）列表、描點、畫出函數在區間
上的圖像。
19．（12分）已知數列
的前
項和為
，
.
（Ⅰ）證明：數列
是等比數列；
（Ⅱ）設
求使不等式
成立的正整數
的取值范圍.
20．（13分）已知在函數
的圖象上以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整數k，使得不等式
恒成立？如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由；
（3）求證：
21．（14分）已知二次函數
.
（1）若
，試判斷函數
零點個數；
（2）是否存在
，使同時滿足以下條件
①對任意
，且
；
②對任意
,都有
。若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。
（3）若對任意
且
，
，試證明存在
，
使
成立。
一、BDCBD ACA CC
二、
①④
三、
16．解：（1）
即 
又
為銳角 
（2）
又
代入上式得：
（當且僅當 
時等號成立。）
（當且僅當 時等號成立。）
17．解：（1）由已知得
解得
．設數列
的公比為
，
由，可得
．又
，可知
，即
，
解得
． 由題意得
． 
．故數列的通項為
．
（2）由于
由（1）得
=
18．解：（1）因為
圖象的一條對稱軸是直線
得 
，
得
的單調增區間是
（開閉區間均可）。
列表如下：
，則
.
.
即
. 
時，
.∴數列
是首項為4，公比為2的等比數列. 
.∴
為偶數時，
，
，即
.故不存在合條件的
.
，所以
，又m為奇數，所以m=1,3,5……
依題意，得
∴
在此區間為增函數
在此區間為減函數
在此區間為增函數
處取得極大值又
恒成立。……7分
∴
由（2）知
在
為增函數，
綜上可得
時，－
又t>0，
，且函數
上是增函數，
當
時
，
有一個零點；當
時，
，函數
存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，∴
即 
,都有
得
又因為
恒成立，
，即
，即
得
， 
，
對
，使
，則
，
在
內必有一個實根。即
，
成立。