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(2)  ∵ , ∴=4.

∴{}是公差為4的等差數列.

∵a₁=1,  ∴=+4(n-1)=4n-3.

∵a_n>0 , ∴a_n=.                                        

(3)   b_n=S_n+1-S_n=a_n+1²=, 由b_n<,得 m>對于n∈N成立.

∵≤5 ,

∴m>5,存在最小正數m=6,使得對任意n∈N有b_n<成立.

為了求a_n ,我們先求,這是因為{}是等差數列, 試問: 你能夠想到嗎? 該題是構造等差數列的一個典范.

例4  已知數列在直線x-y+1=0上.

（1）       求數列{a_n}的通項公式；

（2）若函數

求函數f(n)的最小值；

   (3)設表示數列{b_n}的前n項和.試問:是否存在關于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由.  

    講解  從 規 律 中 發 現 ,從 發 現 中 探 索.

   （1）

    （2） ,

         ,

     .

    （3）,

      .

     故存在關于n的整式使等式對于一切不小2的自然數n恒成立.

     事實上, 數列{a_n}是等差數列, 你知道嗎？

    例5  深夜，一輛出租車被牽涉進一起交通事故，該市有兩家出租車公司――紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中藍色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85%和15%。據現場目擊證人說，事故現場的出租車是紅色，并對證人的辨別能力作了測試，測得他辨認的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑. 請問警察的認定對紅色出租車公平嗎？試說明理由.

    講解  設該城市有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息：

證人所說的顏色（正確率80%）

真

實

顏

色

藍色

紅色

合計

藍色（85%）

680

170

850

紅色（15%）

30

120

150

合計

710

290

1000

從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，且它確實是紅色的概率為，而它是藍色的概率為. 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據對紅色出租車顯然是不公平的.

本題的情景清新, 涉及到新教材中概率的知識, 上述解法中的列表技術顯示了一定的獨特性, 在數學的應試復課中似乎是很少見的.

    例6  向明中學的甲、乙兩同學利用暑假到某縣進行社會實踐，對該縣的養雞場連續六年來的規模進行調查研究，得到如下兩個不同的信息圖：

   （A）圖表明：從第1年平均每個養雞場出產1萬只雞上升到第6年平均每個養雞場出產2萬只雞;

   （B）圖表明：由第1年養雞場個數30個減少到第6年的10個.

   請你根據提供的信息解答下列問題：

   （1）第二年的養雞場的個數及全縣出產雞的總只數各是多少？

   （2）哪一年的規模最大？為什么？

   講解 （1）設第n年的養雞場的個數為，平均每個養雞場出產雞萬只，

     由圖（B）可知, =30，且點在一直線上，

從而 

     由圖（A）可知, 且點在一直線上，

于是  

     =（萬只），（萬只）

     第二年的養雞場的個數是26個，全縣出產雞的總只數是31.2萬只；

     （2）由（萬只），

     第二年的養雞規模最大，共養雞31.2萬只.

     有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的.

例7 已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上.

   （1）求動圓圓心的軌跡M的方程；

   （2）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點.

   （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；

   （ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

講解  本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關系，是解析幾何中的存在性問題.

（1）由曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，知曲線M的方程為.

（2）（i）由題意得，直線AB的方程為 消y得

于是,  A點和B點的坐標分別為A，B（3，），

假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，

即有

由①－②得

因為不符合①，所以由①，②組成的方程組無解.

故知直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形.

（ii）設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，

由

即當點C的坐標是（－1，）時，三點A，B，C共線，故.

  ，

  ，   

  .

  (i) 當，即，

 即為鈍角.

(ii) 當，即，

 即為鈍角.

(iii)當，即，

 即.   該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

故當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是.

需要提及的是, 當△ABC為鈍角三角形時, 鈍角的位置可能有三個,需要我們進行一一探討.

例8 已知是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a，b∈R都滿足關系式  .

   （1）求f（0），f（1）的值；

   （2）判斷的奇偶性，并證明你的結論；

   （3）若，求數列{u_n}的前n項的和S_n.

講解 本題主要考查函數和數列的基本知識，考查從一般到特殊的取特值求解技巧.

   （1）在中,令得

           .

     在中,令得

        ，有 .

   （2）是奇函數,這需要我們進一步探索. 事實上 

        故為奇函數.

（2）       從規律中進行探究,進而提出猜想.

 由   

       ,

         ………………………………

猜測  .

于是我們很易想到用數學歸納法證明.

     1° 當n=1時，，公式成立；

     2°假設當n=k時，成立，那么當n=k+1時，

，公式仍然成立.

     綜上可知，對任意成立.

  從而   .

     ，.

     故

例9  若、，

(1)求證：；

    (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數列的通項公式；

    (3)證明：存在不等于零的常數p，使是等比數列，并求出公比q的值.

講解  (1)采用反證法. 若，即, 解得

從而與題設,相矛盾，

   故成立.

 (2) 、、、、,

     .

（3）因為 又,

所以,

因為上式是關于變量的恒等式，故可解得、.

    我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣嗎?

例10 如圖，已知圓A、圓B的方程分別是動圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為：．

（1）求圓P的軌跡方程，并證明：當時，點P到點B的距離與到定直線l距離的比為定值；

（2） 延長PB與點P的軌跡交于另一點Q，求的最小值；

（3）如果存在某一位置，使得PQ的中點R在l上的射影C，滿足求a的取值范圍．

   講解（1）設動圓P的半徑為r，則｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ，

∴ |PA| －｜PB| = 2．

∴ 點P的軌跡是以A、B為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右準線的右支，其方程為  （x ≥1）．若 , 則l的方程為雙曲線的右準線, ∴點P到點B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2.

(2)若直線PQ的斜率存在，設斜率為k，則直線PQ的方程為y = k ( x－2 )代入雙曲線方程, 得

由　 ，　解得＞３．　

∴  ｜PQ｜＝．　

當直線的斜率存在時，，得，｜PQ|＝６．

∴　｜PQ|的最小值為６．　

（3）當PQ⊥QC時，P、C、Q構成Rt△.

∴  R到直線l的距離｜RC|＝  ① 

又　∵ 　點P、Q都在雙曲線上，

∴　　．

∴　　，即　　．

∴　　　②　

將②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6．

故有ａ≤－１．

“如果存在”并不意味著一定存在, 如何修改本題使其成為不存在的范例呢? 問題的提出既能延伸我們的思緒, 更能完善我們的知識技能, 無形中使解題能力得到逐漸的提升.