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專題八《銳角三角函數與解直角三角形》

●中考點擊

考點分析：

內容

要求

1、特殊角的三角函數值

Ⅰ

2、利用計算器求銳角的三角函數值，并能根據已知的三角函數值求對應的銳角

Ⅱ

3、綜合運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題

Ⅱ

命題預測：本專題內容主要涉及兩方面，一是銳角三角函數問題的基本運算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的應用題是中考重點考查的內容，題型廣泛，有測建筑物高度的，有與航海有關的問題，有與筑路、修堤有關的問題．要注意把具體問題轉化為數學模型，在計算時不能直接算出某些量時，要通過列方程的辦法加以解決．

預測2007年中考的考查熱點，主要要求能夠正確地應用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形兩邊的比，并且要熟記30°、45°、60°角的各個三角函數值．理解直角三角形中的邊、角之間的關系，會用勾股定理及銳角三角函數解直角三角形，并會用相關的知識解決一些簡單的實際問題，尤其是在計算距離、高度和角度等方面．

●難點透視

例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是

　　　A、　　　B、　　　C、　　　D、

【考點要求】本題考查銳角三角函數的概念。

【思路點撥】根據題目所給條件，可畫出直角三角形，結合圖形容易判斷是∠B的正切值。

【答案】選C。

【方法點撥】部分學生會直接憑想象判斷并選擇結果，從而容易導致錯誤。突破方法：這類題目本身難度不大，但卻容易出現錯誤，關鍵是要畫出圖形，結合圖形進行判斷更具直觀性，可減少錯誤的發生。

例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前進200米,那么他在原來基礎上升高了__________米．

【考點要求】本是考查坡度與坡角正切值關系。

【思路點撥】坡度即坡角的正切值為，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿著山路前進200米，則升高200×=10（米）。

【答案】填10。

【方法點撥】少數學生因為未能正確理解坡度的意義，而出現使用錯誤。突破方法：牢記坡度表示坡角的正切值即坡角的對邊：坡角的鄰邊=，然后再結合直角三角形，可求出坡角的正弦值，從而容易求得結果。

6ec8aac122bd4f6e 例3如圖8-1，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=．求：（1）DC的長；（2）sinB的值．

【考點要求】本題考查銳三角函數概念的相關知識及其簡單運用。

【思路點撥】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝，設CD＝3k，∴AD＝5k

又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6

（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝＝4k＝8

∴AB＝

∴sinB=

【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=。

【方法點撥】本題的關鍵是抓住“AD＝BC”這一相等的關系，應用銳角三角函數的定義及勾股定理解題．

6ec8aac122bd4f6e 例4如圖所示，秋千鏈子的長度為3m，靜止時的秋千踏板（大小忽略不計）距地面0.5m．秋千向兩邊擺動時，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為，則秋千踏板與地面的最大距離約為多少？(參考數據：≈0.8,≈0.6)

【考點要求】本題考查利用銳角三角函數知識和解直角三角形解決實際生活中的直角三角形問題．

【思路點撥】設秋千鏈子的上端固定于A處，秋千踏板擺動到最高位置時踏板位于B處．過點A，

B的鉛垂線分別為AD，BE，點D，E在地面上，過B作BC⊥AD于點C．

在Rt中，∵，，

∴ AC=≈=1.8（m）．

6ec8aac122bd4f6e ∴ ≈（m）．　

∴ ≈（m）．

【答案】秋千擺動時踏板與地面的最大距離約為m．

【方法點撥】部分學生想直接求出踏板離地最高的距離即BE，但卻缺少條件。突破方法：通過作輔助線，將BE轉化到CD位置上，根據題目所給條件容易求出AC，從而可求得CD的長。

解題關鍵：利用解直角三角形求解實際問題的關鍵在于構造適當的直角三角形。

6ec8aac122bd4f6e 例5如圖8-5，一條漁船某時刻在位置A觀測燈塔B、C(燈塔B距離A處較近)，兩個燈塔恰好在北偏東65°45′的方向上，漁船向正東方向航行l小時45分鐘之后到達D點，觀測到燈塔B恰好在正北方向上，已知兩個燈塔之間的距離是12海里，漁船的速度是16海里／時，又知在燈塔C周圍18.6海里內有暗礁，問這條漁船按原來的方向繼續航行，有沒有觸礁的危險?

【考點要求】本題考查解直角三角形在航海問題中的運用，解決這類問題的關鍵在于構造相關的直角三角形幫助解題．

【思路點撥】在Rt△ABD中，（海里），

∠BAD=90°-65°45′=24°15′.

∵cos24°15′=，　∴(海里).

AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).

在Rt△ACE中，sin24°15′=，

∴CE=AC?sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).

∵17.54＜18.6，∴有觸礁危險。

【答案】有觸礁危險，不能繼續航行。

【方法點撥】本題有兩個難點，一是要能將實際問題抽象為數學問題，二是構造合適的直角形。突破方法：有無觸礁危險，關鍵看離燈塔C最近的距離與18.6的大小關系，如果最近的距離大于18.6，則不會有觸礁危險。

解題關鍵：離燈塔最近的距離是從燈塔向航線作垂線段。

例6某數學興趣小組，利用樹影測量樹高．已測出樹AB的影長AC為9米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角．

（1）求出樹高AB；

（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度．

（計算結果精確到0.1米，參考數據：≈1.414， ≈1.732）

【考點要求】本題考查解直角三角形在測量中的實際運用．

【思路點撥】（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°

∵tanC＝ ∴AB＝AC?tanC＝9×≈5.2（米）

（2）以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點D為切點，DE⊥AD交AC于E點，（如圖2）

在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，

∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）

【答案】樹高AB約為5.2米，樹影有最長值，最長值約為10.4米。

【方法點撥】部分學生第（1）問沒有太大困難，第（2）問中樹在傾倒過程中，確定何處樹影最長比較困難。突破方法：以A為圓心，AB為半徑作圓弧，其中與圓弧相切的太陽光線所照射得到的樹影最長。

解題關鍵：如何用直觀的方式將樹傾倒過程體現出來，這是解決該題的關鍵所在。

6ec8aac122bd4f6e 例7初三（5）班綜合實踐小組去湖濱花園測量人工湖的長，如圖1A、D是人工湖邊的兩座雕塑，AB、BC是湖濱花園的小路，小東同學進行如下測量，B點在A點北偏東60^o方向，C點在B點北偏東45^o方向，C點在D點正東方向，且測得AB=20米，BC=40米，求AD的長．（，結果精確到0.01米）