【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若
，求證：
.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見證明
【解析】
（Ⅰ）利用導數與函數單調性的關系求解；
（Ⅱ）af（x）＞lnx
．令F（x）
，F′（x）
（x＞0）．
①當∈（0，1]時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，F（x）≥F（1）＝ae＞0；
②當＞1時，令G（x）
，利用導數求得最小值大于0即可．
解．（1）f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵
，
∴x∈（﹣∞，0），（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數f（x）的單調增區間為：（1，+∞），減區間為（﹣∞，0），（0，1）．
（2）af（x）＞lnx．
令F（x），
F′（x）．（x＞0）．
①當x∈（0，1]時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，F（x）≥F（1）＝ae＞0；
②當x＞1時，令G（x），G
．
∴G（x）在（1，+∞）單調遞增，
∵x→1時，G（x）→﹣∞，G（2）＝e2
0，
∴G（x）存在唯一零點0∈（1，2），
F（x）min＝F（x0）
∵G（x0）＝0，
．
綜上所述，當
時，af（x）＞lnx成立．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數）.以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）若曲線上一點
的極坐標為
，且過點，求的普通方程和的直角坐標方程；
（2）設點
，與的交點為
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在空間幾何體ABCDFE中，底面
是邊長為2的正方形，
，
，
.
（1）求證：AC//平面DEF；
（2）已知
，若在平面
上存在點
，使得
平面，試確定點的位置.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“雙十一網購狂歡節”源于淘寶商城（天貓）2009年11月11日舉辦的促銷活動，當時參與的商家數量和促銷力度均有限，但營業額遠超預想的效果，于是11月11日成為天貓舉辦大規模促銷活動的固定日期.如今，中國的“雙十一”已經從一個節日變成了全民狂歡的“電商購物日”.某淘寶電商為分析近8年“雙十一”期間的宣傳費用
（單位：萬元）和利潤
（單位：十萬元）之間的關系，搜集了相關數據，得到下列表格：
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（1）請用相關系數
說明與之間是否存在線性相關關系（當
時，說明與之間具有線性相關關系）；
（2）建立關于的線性回歸方程（系數精確到
），預測當宣傳費用為
萬元時的利潤，
附參考公式：回歸方程
中
和
最小二乘估計公式分別為
，
，相關系數
參考數據：
，
，
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高二（20）班共50名學生，在期中考試中，每位同學的數學考試分數都在區間
內，將該班所有同學的考試分數分為七個組：
，
，
，
，
，
，
，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）根據頻率分布直方圖，估計這次考試學生成績的中位數和平均數；
（2）已知成績為104分或105分的同學共有3人，現從成績在中的同學中任選2人，則至少有1人成績不低于106分的概率為多少？（每位同學的成績都為整數）
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