Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）若曲線上一點的極坐標為，且過點，求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）設點，與的交點為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）,；（2）.

【解析】試題分析：（1）把代入曲線，再化為直角坐標，結合直線的參數方程得直線過點，得直線的普通方程，然后根據即可得到曲線的直角坐標方程；（2）把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，結合韋達定理及三角函數的圖像與性質，即可求得的最大值.

試題解析：（1）把代入曲線可得

化為直角坐標為，

又過點，得直線的普通方程為；

可化為.

由可得，

即曲線的直角坐標方程為.

（2）把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程得，，化簡得，①

可得，故與同號.

∴ ，

∴時，有最大值.

∴此時方程①的，故有最大值.