Question

已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉的影響．
（1）推導出第一宇宙速度v₁的表達式；
（2）我國自行研制的“神舟七號”載人飛船于2008年9月25日從中國酒泉衛星發射中心載人航天發射場用長征二號F火箭發射升空．假設“神舟七號”飛船進入預定軌道后繞地球做勻速圓周運動，運行的周期是T，結合題干中所給的已知量，求飛船繞地球飛行時離地面的高度h．

Answer 1

分析：研究衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=ma=m

v2

r

=m

4π2r

T2

，列出等式即可求出所求物理量．

解答：解：（1）設衛星的質量為m，地球的質量為M
在地球表面附近滿足G

Mm

R2

=mg
衛星做圓周運動的向心力由它受到的萬有引力提供 G

Mm

R2

=m

v12

R

 解得：第一宇宙速度v₁=

gR

（2）設飛船的質量為m′則
G

Mm

r2

=m

4π2r

T2

解得：r=

3	GMT2 4π2

又因為G

Mm

R2

=mg
所以r=

3	gR2T2 4π2

所以飛船繞地球飛行時離地面的高度h=

3	gR2T2 4π2

-R
答：（1）第一宇宙速度v₁的表達式為v₁=

gR

；
（2）飛船繞地球飛行時離地面的高度h為

3	gR2T2 4π2

-R．

點評：解決本題的關鍵是掌握萬有引力提供向心力，即G

Mm

r2

=ma=m

v2

r

=m

4π2r

T2

，難度不大，屬于基礎題．