Question

2007年北京時間11月7日早上8時34分，總重量達2300kg的探月衛星“嫦娥一號”成功實施第三次近月制動，進入周期為127分鐘的圓形月球極地軌道，由于月球的自轉作用，處于月球極地軌道的“嫦娥一號”可以完成包括月球南北極、月球背面的全月探測工作．“嫦娥一號”搭載的CCD相機要對月面南北緯七十度以內范圍進行成像，中國國防科工委2008年1月31日宣布，“嫦娥一號”衛得獲得月球極區圖象并向地面成功傳回．已知地球半徑為R，地面的重力加速度為g，月球半徑為R′，月球質量是地球質量的

1

81

，“嫦娥一號”在距月球表面高度為h的圓形軌道上做勻速圓周運動．月球繞地球運動簡化為勻速圓周運動，求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）“嫦娥一號”距月面高度為h的圓形軌道上做勻速圓周運動的周期．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力等于重力，運用比例法，求出月球表面與地球表面重力加速度之比，即可求得月球表面的重力加速度；
（2）“嫦娥一號”在繞月的圓形軌道上做勻速圓周運動時，由月球的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律列式求解其周期．

解答：解：（1）由mg=G

Mm

R2

得 g=

GM

R2

則得月球表面與地球表面重力加速度之比為

g′

g

=

M′

M

?

R2

R′2

=

R2

81R′2

得月球表面的重力加速度 g′=

R2

81R′2

g
（2）設“嫦娥一號”在距月球表面高度為h的圓形軌道上做勻速圓周運動的周期為T₁
則 G

M′m

(R′+h)2

=m

4π2

T 2 1

(R′+h)
解得T₁=

18π

R

(R′+h)3 g

答：
（1）月球表面的重力加速度是

R2

81R′2

g；
（2）“嫦娥一號”距月面高度為h的圓形軌道上做勻速圓周運動的周期是

18π

R

(R′+h)3 g

．

點評：解決本題是掌握萬有引力等于重力，及萬有引力等于向心力，這是處理衛星問題常用的思路．