Question

如圖所示，一平板小車靜止在光滑水平面上，質量均為m的物體A、B分別以2v₀和v₀的初速度，沿同一直線同時同向水平滑上小車，剛開始滑上小車的瞬間，A位于小車的最左邊，B位于距小車左邊l處.設兩物體與小車間的動摩擦因數均為μ，小車的質量也為m，最終物體A、B都停在小車上.求：

（l）最終小車的速度大小是多少?方向怎樣？

（2）若要使物體A、B在小車上不相碰，剛開始時A、B間的距離l至少多長？

Answer 1

解：（1）設小車最終的速度是v，由動量守恒可得：

m·2v₀+ m·v₀=3 m·v   ① （2分）

由①式解得：v=v₀ 方向水平向右  ②（2分）

（2）A、B同時滑上小車后，它們均做勻減速直線運動．當B減速到與小車的速度相同時，B與小車相對靜止，此后A繼續做勻減速直線運動，B與小車做勻加速直線運動，直至它們達到相同的速度v₀，設剛開始時A、B間的距離l．

由答圖可知：B與小車相對靜止時的共同速度是v_B1，此時A的速度是v_A1，由運動學知識和動量守恒可得：

m·2v₀+ m·v₀=2 m·v_B1+ m·v_A1   ③（2分）

在B停止運動前，A、B所受的滑動摩擦力f_A= f_B，它們的加速度a_A1= a_B1，此時小車所受的力：F=-2f_A  ④

小車的加速度：a= -2 a_A1= -2 a_B1  ⑤ （2分）

由答圖可知： ⑥（2分）

  ⑦ （2分）

由⑥⑦式解得：

 ⑧

t₁=  ⑨

由圖可知： ⑩（2分）

由⑧⑨式解得： 

當B與小車相對靜止，此后A在小車上相對小車移動的距離是l_x，由能量守恒定律可知：

=μmgl_x  （2分）

由以上式子解得：l_x=

在t₁前，A、B移動的位移分別是s_A1、s_B1，由圖可知：

s= s_A1-s_B1=（2v₀-v₀）·t₁  （1分）

由⑨式解得：s=

所以：l= s + l_x  （1分）

由上式解得：l=  （1分）