Question

如圖所示，質量均為m的物體B、C分別與輕質彈簧的兩端相栓接，將它們放在傾角為θ的足夠長的光滑斜面上，靜止時彈簧的形變量為x₀。斜面底端有固定擋板D，物體C靠在擋板D上。將質量也為m的物體A從斜面上的某點卣靜止釋放，A與B相碰。已知重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內，不計空氣阻力。

（1）若A與B相碰后粘連在一起做簡諧運動，求AB通過平衡位置時彈簧的形變量；
（2）在（1）問中，當AB第一次振動到最高點時，C對擋板D的壓力恰好為零，求振動過程C 對擋板D的壓力最大值：
（3）若將A從距離B為9x₀。的位置由靜止釋放，A與B相碰后不粘連，但仍立即一起運動，且當B第一次運動到最高點時，C對擋板D的壓力也恰好為零。已知A與B相碰后，A、B系統動能損失一半，求A與B相碰后彈簧第一次恢復到原長時B的速度大小。

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：：（1）碰撞前，由平衡條件得：對B：①，
碰撞后經過平衡位置時，對AB組成的系統，
由平衡條件得：②，
由①②解得：；
（2）物體C對D擋板的壓力為0時，設AB加速度為a，
對C，彈簧的彈力：③
對AB，由牛頓第二定律得：④
物體C對擋板D的壓力N最大時，根據對稱性可知，AB的加速度大小仍為a，
設此時彈簧秤的彈力為，
對AB，由牛頓第二定律得：⑤
對C：⑥
由③④⑤⑥解得：，
由牛頓第三定律可知，C對擋板D壓力的最大值；
（3）A從開始下滑到與B碰撞前過程中，
由機械能守恒定律得：，
AB碰撞動能損失一半，碰撞后，
AB系統：
設彈簧形變量為x₀彈性勢能為E_P，從AB開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復原長時，
AB的速度為v₃，由機械能守恒定律得
當彈簧第一次恢復原長時，A、B恰好分離，從A、B分離到B運動到最高點過程中，
由機械能守恒定律得：，
解得A、B碰撞后彈簧第一次恢復原長時，B的速度大小為：；