Question

已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，不考慮地球自轉的影響．
（1）求衛星環繞地球運行的第一宇宙速度v₁；
（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動且運行周期為T，求衛星運行半徑r；
（3）由題目所給條件，請提出一種估算地球平均密度的方法，并推導出密度表達式．

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度為衛星在地面附近軌道做勻速圓周運動的環繞速度，根據重力等于向心力列式求解；
（2）根據衛星受到的萬有引力等于向心力和地面附近的重力加速度公式聯立列式求解；
（3）根據地面附近的重力加速度公式先計算出地球質量，再估算密度．

解答：解：（1）重力等于向心力
mg=m

v 2 1

R

解得
v₁=

gR

即衛星環繞地球運行的第一宇宙速度v₁為

gR

．
（2）若不考慮地球自轉的影響，地面上質量為m的物體所受的重力mg等于地球對物體的引力，即
mg=G

mM

R2

         ①
衛星受到的萬有引力等于向心力
G

m′M

r2

=m′

4π2

T2

r   ②
由①②兩式解得
r=

3	gR2T2 4π2

即衛星運行半徑r為

3	gR2T2 4π2

．
（3）由①式解得
M=

gR2

G

因而
ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πGR

即地球的密度為

3g

4πGR

．

點評：衛星類問題關鍵抓住引力提供向心力和地面附近重力加速度公式列式求解．