Question

如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉動，筒內壁粗糙，筒口半徑R＝2 m，筒壁和水平面的夾角θ＝30°，筒內壁A點的高度為筒高的一半．內壁上有一質量為m＝1 kg的小物塊放在筒壁上的A處．g取10 m/s²，求：
(1) 當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力大小；
(2) 當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其受到的摩擦力為零時，筒轉動的角速度大小；
(3) 若物塊與筒壁間的動摩擦因數μ＝，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，要使物塊在A點隨筒做勻速轉動而不產生相對滑動，那么筒轉動的最大角速度不能超過多大？

Answer 1

(1) f＝5 N( (2)ω＝ rad/s (3) ω＝ rad/s.

分析：（1）當筒不轉動時，物塊受到重力、筒壁A的摩擦力和支持力作用，根據平衡條件求解．角度由數學知識求出．
（2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其受到的摩擦力為零時，由重力和支持力的合力提供物塊的向心力，由牛頓第二定律求解．
解答：解：（1）當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點時受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
由平衡條件得摩擦力的大小：f=mgsinθ=
（2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，物塊在筒壁A點時受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設筒轉動的角速度為ω有，mgtanθ=mω²
  解得ω=
(3) 要使物塊在A點隨筒做勻速轉動而不產生相對滑動，受到的重力、沿筒壁向下的摩擦力和支持力，三力合力提供向心力，設筒轉動的角速度為ω有，豎直方向平衡，水平方向做勻速圓周運動，，代入數據聯立可得ω＝ rad/s
答：（1）當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力為5N
（2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其受到的摩擦力為零時，筒轉動的角速度為 rad/s
（3）筒轉動的最大角速度不能超過 rad/s．
點評：本題是圓錐擺類型．關于向心力應用的基本方程是：指向圓心的合力等于向心力，其實是牛頓第二定律的特例．