Question

宇航員在月球表面完成下面實驗：在一固定的豎直光滑圓形軌道內部的最低點，靜止一質量為m的小球（可視為質點），如圖所示，當給小球水平初速度v₀時，剛好能使小球在豎直面內做完整的圓周運動．已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R．若在月球表面上發射一顆環月衛星，所需最小發射速度為多大？

Answer 1

分析：由于小球恰好經過最高點，根據重力提供向心力，可求出在最高點的速度；小球在軌道內部運動過程中，只有重力做功，由動能定理列式可求出月球表面重力加速度g，根據重力提供向心力，可求出最小發射速度．

解答：解：設月球表面重力加速度為g，月球質量為M．
球剛好完成圓周運動，則小球在最高點有  mg=m

v2

r

        ①
從最低點至最高點由動能定理得-mg?2r=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

   ②
由①②可得  g=

v 2 0

5r

             
在月球表面發射衛星的最小速度為月球第一宇宙速度，重力提供向心力  m′g=m′

v2

R

 解得：v=

gR

=

v0

5r

5Rr

故在月球表面上發射一顆環月衛星，所需最小發射速度為

v0

5r

5Rr

．

點評：本題涉及兩個圓周運動，小球在光滑軌道內運動時，在最高點重力提供向心力；衛星在月球表面做圓周運動時，重力提供向心力．