Question

宇航員在月球表面完成下面的實驗：在一固定的豎直光滑圓軌道內部有一質量為m的小球（可視為質點），如圖所示．當在最高點給小球一瞬間的速度v時，剛好能使小球在豎直平面內做完整的圓周運動，已知圓弧的軌道半徑為r，月球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）若在月球表面上發射一顆環月衛星，所需最小發射速度為多大？
（2）月球的平均密度為多大？
（3）軌道半徑為2R的環月衛星周期為多大？

Answer 1

分析：（1）由最小發射速度應是萬有引力等于重力，而重力又充當向心力時的圓周運動速度，由此可以解得最小發射速度．
（2）由萬有引力等于重力解出質量，然后又密度等于質量除以體積可以得到密度．
（3）由萬有引力充當向心力的周期表達式，可以得到周期．

解答：解：（1）小球在最高點重力充當向心力：mg=m

v2

r

月球近地衛星最小發射速度：m′g=m′

v12

R

又：G

Mm′

R2

=m′g
解得：v1=

R r

v
（2）由：G

Mm

R2

=mg
得：M=

gR2

G

又：ρ=

M

V

=

M

4πR3 3

解得：ρ=

3v2

4πrRG

（3）對該衛星有：G

Mm1

(2R)2

=m1

4π2

T2

2R
解得：T=4π

2Rr v2

答：
（1）若在月球表面上發射一顆環月衛星，所需最小發射速度為v1=

R r

v
（2）月球的平均密度為ρ=

3v2

4πrRG

（3）軌道半徑為2R的環月衛星周期為T=4π

2Rr v2

點評：本題重點一是對最小發射速度的求解，應知道最小發射速度對應的向心力時重力．二是密度的求解，就是用質量除以體積，這里的重點是依據已知量來表示質量．