Question

（2007?湖南模擬）宇航員在月球表面完成下面實驗：在一固定的豎直光滑圓弧軌道內部最低點靜止一質量為m的小球（可視為質點）如圖所示，當施加給小球一瞬間水平沖量I時，剛好能使小球在豎直面內做完整的圓周運動．已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R，萬有引力常量為G．
（1）若在月球表面上發射一顆環月衛星，所需最小發射速度為多大？
（2）軌道半徑為2R的環月衛星周期為多大？

Answer 1

分析：（1）結合動量定理、機械能守恒定律和牛頓第二定律求出月球表面的重力加速度，根據萬有引力提供向心力求出最小的發射速度．
（2）根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出環月衛星的周期．

解答：解：設月球表面重力加速度為g，月球質量為M
根據動量定理有：I=mv₀，
在最高點有：mg=m

v2

r

根據機械能守恒定律得，

1

2

mv02=mg?2r+

1

2

mv2
聯立三式得g=

I2

5m2r

∵在月球發射衛星的最小速度為月球第一宇宙速度
∴vmin=

GM R

=

gR

=

I

5mr

5Rr

有

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R
∴T=2π

(2R)3 GM

GM=gR²
代入得T=2π

(2R)3 gR2

=

4πm

I

10Rr

．
答：（1）若在月球表面上發射一顆環月衛星，所需最小發射速度為

I

5mr

5Rr

．
（2）軌道半徑為2R的環月衛星周期為

4πm

I

10Rr

．

點評：本題綜合考查了動量定理、機械能守恒定律和牛頓第二定律、以及萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力這兩個理論，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強訓練．