Question

宇航員在月球表面完成下面的實驗：在一固定的豎直光滑圓軌道內部最低點靜止一個質量為m的小球（可視為質點），如圖所示，當施給小球一瞬間速度v時，剛好能使小球在豎直平面內做完全的圓周運動，已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）若在月球表面上發射一顆環月衛星，所需最小發射速度為多大？
（2）軌道半徑為2R的環月衛星周期為多大？

Answer 1

分析：（1）結合機械能守恒定律和牛頓第二定律求出月球表面的重力加速度大小，根據月球表面的萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力求出最小的發射速度．
（2）根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出軌道半徑為2R的環月衛星周期．

解答：解：設月球表面的重力加速度為g，小球在最高點的速度為v₁
小球從最低點到最高點的過程中機械能守恒：

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

+mg?2r
小球剛好做完整的圓周運動，在最高點有：mg=m

v 2 1

r

由以上兩式可得：g=

v2

5r

（1）若在月球表面發射一顆衛星，則重力必須提供向心力，則有：mg=m

v 2 2

R

故最小發射速度v2=

gR

=

v2R 5r

（2）若衛星在半徑為2R的軌道上，

GMm

(2R)2

=m?2R?

4π2

T2

其中g=

GM

R2

   由以上幾式可得：T=

4π 10Rr

v

答：（1）最小發射速度為

v2R 5r

．
（2）軌道半徑為2R的環月衛星周期為

4π 10Rr

v

．

點評：本題為萬有引力理論與機械能守恒和牛頓第二定律的綜合，掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．