Question

【題目】三維彈球是Window里面附帶的一款使用鍵盤操作的電腦游戲，小王同學受此啟發，在學校組織的趣味運動會上，為大家提供了一個類似的彈珠游戲。如圖所示，將一質量為的小彈珠可視為質點放在O點，用彈簧裝置將其彈出，使其沿著光滑的半圓形軌道OA和AB進入水平桌面BC，從C點水平拋出。已知半圓型軌道OA和AB的半徑分別為，，BC為一段長為的粗糙水平桌面，小彈珠與桌面間的動摩擦因數為，放在水平地面的矩形墊子DEFG的DE邊與BC垂直，C點離墊子的高度為，C點離DE的水平距離為，墊子的長度EF為1m，求：

若小彈珠恰好不脫離圓弧軌道，在B位置小彈珠對半圓軌道的壓力；

若小彈珠恰好不脫離圓弧軌道，小彈珠從C點水平拋出后落入墊子時距左邊緣DE的距離；

若小彈珠從C點水平拋出后不飛出墊子，小彈珠被彈射裝置彈出時的最大初速度。

Answer 1

【答案】（1）6N（2）0.2m（3）

【解析】

(1)由牛頓第二定律求得在A點的速度，然后通過機械能守恒求得在B點的速度，進而由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；

(2)通過動能定理求得在C點的速度，即可由平拋運動的位移公式求得距離；

(3)求得不飛出墊子彈珠在C點的速度范圍，再通過動能定理求得初速度范圍，即可得到最大初速度。

（1）若小彈珠恰好不脫離圓弧軌道，那么對彈珠在A點應用牛頓第二定律有，

所以，；
那么，由彈珠在半圓軌道上運動只有重力做功，機械能守恒可得：，所以，；
那么對彈珠在B點應用牛頓第二定律可得：彈珠受到半圓軌道的支持力

，方向豎直向上；
故由牛頓第三定律可得：在B位置小彈珠對半圓軌道的壓力，方向豎直向下；（2）彈珠在BC上運動只有摩擦力做功，故由動能定理可得：，

所以，；
設小彈珠從C點水平拋出后落入墊子時距左邊緣DE的距離為d，那么由平拋運動的位移公式可得：，

，

所以，；

（3）若小彈珠從C點水平拋出后不飛出墊子，那么彈珠做平拋運動的水平距離；
故平拋運動的初速度，

所以，；
又有彈珠從O到C的運動過程只有重力、摩擦力做功，故由動能定理可得：

；
所以，，

故，所以小彈珠被彈射裝置彈出時的最大初速度為；