Question

如圖所示，電阻忽略不計(jì)的、兩根平行的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，其上端接一阻值為3Ω的定值電阻R．在水平虛線L₁、L₂間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B、磁場(chǎng)區(qū)域的高度為d=0.5m．導(dǎo)體棒a的質(zhì)量m_a=0.2kg，電阻R_a=3Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量m_b=0.1kg，電阻R_b=6Ω．它們分別從圖中M、N處同時(shí)由靜止開始在導(dǎo)軌上無摩擦向下滑動(dòng)，且都能勻速穿過磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)a正好進(jìn)入磁場(chǎng)．設(shè)重力加速度為g=10m/s²．（不計(jì)a、b之間的作用，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中a、b棒始終與金屬導(dǎo)軌接觸良好）求：
（1）在整個(gè)過程中a、b兩棒克服安培力分別做的功；
（2）a進(jìn)入磁場(chǎng)的速度與b進(jìn)入磁場(chǎng)的速度之比：
（3）分別求出M點(diǎn)和N點(diǎn)距虛線L₁的高度．

Answer 1

分析：（1）a、b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)，其安培力等于各自的重力，根據(jù)重力做功情況求出a、b兩棒克服安培力分別做的功．
（2）a、b進(jìn)入磁場(chǎng)都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受重力和安培力平衡，根據(jù)平衡，結(jié)合閉合電路歐姆定律和切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小公式，求出a、b做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度大小，從而求出兩速度之比．
（3）根據(jù)a、b棒進(jìn)入磁場(chǎng)中的速度之比，通過位移公式求出M點(diǎn)和N點(diǎn)距虛線L₁的高度之比，抓住當(dāng)b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)a正好進(jìn)入磁場(chǎng)，有v_a=v_b+gt，d=v_bt結(jié)合a、b的速度比，求出M點(diǎn)和N點(diǎn)距虛線L₁的高度．

解答：解：（1）因a、b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)，其安培力等于各自的重力，由功的公式得
W_a=m_agd=1.0 J                    
W_b=m_bgd=0.5J                     
（2）b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)：速度為v_b，總電阻R₁=7.5Ω
b中的電流I_b=

BLvb

R1

     ①
  

B2L2vb

R1

=mbg      ②
同理，a棒在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)：速度為v_a，總電阻R₂=5Ω：

B2L2va

R2

=mag    ③
由以上各式得：

vb

va

=

3

4

 ④
（3）v²=2gh             ⑤

hb

ha

=

9

16

   ⑥
v_a=v_b+gt          ⑦
d=v_bt                    ⑧
由④⑤⑥⑦⑧得ha=

4

3

 m=1.33 m   
hb=

3

4

 m=0.75 m                                             
答：（1）在整個(gè)過程中a、b兩棒克服安培力分別做的功為1J、0.5J．
（2）a進(jìn)入磁場(chǎng)的速度與b進(jìn)入磁場(chǎng)的速度之比為4：3．
（3）M點(diǎn)和N點(diǎn)距虛線L₁的高度分別為1.33m、0.75m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和安培力平衡，本題的難點(diǎn)在于通過a、b棒的速度關(guān)系以及a、b距離虛線L₁的高度比求出a、b距離虛線L₁的高度．