Question

如圖所示，電阻忽略不計的兩根兩平行光滑金屬導軌豎直放置，其上端接一阻值為3Ω的電阻R．在水平虛線L₁、L₂間有一與導軌所在平面垂直的勻強磁場B，磁場區域的高度為d=0.5m．導體棒a的質量m_a=0.2kg、電阻R_a=3Ω；導體棒b的質量m_b=0.1kg、電阻R_b=6Ω，它們分別從圖中M、N處同時由靜止開始沿導軌向下滑動，且都能勻速穿過磁場區域，當b 剛穿出磁場時a正好進入磁場．（不計a、b之間的作用）求：
（1）在整個過程中，a棒和b棒分別克服安培力做了多少功？
（2）在b穿過磁場區域過程中，電阻R產生的電熱；
（3）M點和N點距L₁的高度分別為多少？

Answer 1

分析：（1）棒勻速通過磁場，克服安培力所做的功等于重力做功．
（2）、（3）由法拉弟電磁感應定律、歐姆定律、力平衡等推導兩棒在磁場中運動的速度，結合運動學公式，求出時間和高度．

解答：解：（1）因為兩金屬棒都是勻速穿過磁場的，所以安培力與重力等大，克服安培力做功分別為：W_a=m_agd=0.2×10×0.5J=1J
    W_b=m_bgd=0.1×10×0.5J=0.5J
（2）設b切割磁感線時，其上電流為I，則電阻R和a棒上電流均為

1

2

I，根據焦耳定律：Q=I²Rt得：
  Qb：Qa：QR=I2Rbt：(I/2)2Rat：(I/2)2Rt=8：1：1
由（1）知b棒穿過磁場過程產生的總電熱為Q=0.5J
所以：QR=

1

8+1+1

Q=0.05J
（3）b在磁場中勻速運動時：速度為υ_b，總電阻R₁=7.5Ω．
b中的電流Ib=

BLυb

R1

①
由以上各式得：

B2L2υb

R1

=mbg②
a在磁場中勻速運動時：速度為v_a，總電阻R₂=5Ω．
對a棒同理有：

B2L2υa

R2

=mag③
由②③式得，

υb

υa

=

3

4

④
又：υ_a=υ_b+gt⑤d=υ_bt⑥
由④⑤⑥得：

v

2 a

=

16gd

3

，

v

2 b

=3gd
所以：ha=

v 2 a

2g

=

8

3

d=

8

3

×0.5m≈1.33m
hb=

v 2 b

2g

=1.5d=1.5×0.5m=0.75m
答：（1）在整個過程中，a棒和b棒分別克服安培力做功1J和0.5J．
（2）在b穿過磁場區域過程中，電阻R產生的電熱是0.05J；
（3）M點和N點距L₁的高度分別為1.33J和0.75J．

點評：本題電磁感應中的力學問題，電磁與力聯系橋梁是安培力，這種類問題往往要分析和計算安培力的大小．本題的關鍵是尋找兩棒之間的關系式υ_a=υ_b+gt．