Question

【題目】如圖甲所示，兩平行金屬板接有如圖乙所示隨時間t變化的電壓U，兩板間電場可看作均勻的，且兩板外無電場，板長L=0.2m，板間距離d=0.2m．在金屬板右側有一邊界為MN的區域足夠大的勻強磁場，MN與兩板中線OO′垂直，磁感應強度B=5×10﹣3T，方向垂直紙面向里．現有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續射入電場中，已知每個粒子速度v0=105 m/s，比荷q/m=108 C/kg，重力忽略不計，在每個粒子通過電場區域的極短時間內，電場可視作是恒定不變的．

（1）試求帶電粒子射出電場時的最大速度；
（2）證明：在任意時刻從電場射出的帶電粒子，進入磁場時在MN上的入射點和在MN上出射點的距離為定值，寫出該距離的表達式；
（3）從電場射出的帶電粒子，進入磁場運動一段時間后又射出磁場，求粒子在磁場中運動的最長時間和最短時間．

Answer 1

【答案】
（1）解：偏轉電壓由0到200V的變化中，粒子流可能都能射出電場，也可能只有部分粒子能射出電場．

設偏轉的電壓為U0時，粒子剛好能經過極板的右邊緣射出．

粒子的加速度：

粒子在偏轉電場中的時間：

聯立以上三式解得：

得U1=100V．

知偏轉電壓為100V時，粒子恰好能射出電場，且速度最大．

根據動能定理得，

代入數據解得： m/s．

方向：斜向右上方或斜向右下方，與初速度方向成45°夾角．

答：帶電粒子射出電場時的最大速度為1.41×105m/s．

（2）解：設粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ．粒子射出電場時速度大小為：

又有洛倫茲力提供向心力：qvB=m

解得 ．

因此粒子射進磁場點與射出磁場點間距離為：

s=2Rsinθ= m．

由此可看出，距離s與粒子在磁場中運行速度的大小無關，s為定值．

答：證明略，距離為0.4m；

（3）解：由（1）中結論可知，若粒子射出磁場的豎直分速度越大，則θ越小，故θ最小值為θm=45°，

此情景下圓弧對應的圓心角為270°，入射粒子在磁場中運行最長時間為：

s

當粒子從上板邊緣飛出電場在進入磁場時，在磁場中運動的時間最短：

s．

答：粒子在磁場中運動的最長時間為3π×10﹣6s和最短時間為π×10﹣6s．

【解析】（1）當粒子從極板的右邊緣射出時，粒子的速度最大，根據粒子在勻強電場中的偏轉，通過偏轉位移求出偏轉的電壓，再通過動能定理求出粒子射出電場時的最大速度．（2）設粒子射出電場速度方向與MN間夾角為θ，根據類平拋運動求出射出電場時的速度與初速度的關系，再根據帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，求出半徑的表達式，從而求出入射點與出射點的距離表達式，看是否與夾角θ有關．（3）當帶電粒子在磁場中運動的圓心角最大，運動的時間最長，圓心角最小，時間最短．類平拋運動豎直方向上的分速度越大，粒子射出電場速度方向與MN間夾角越小，圓心角越大，根據幾何關系求出最大圓心角和最小圓心角，即可求出粒子在磁場中運動的最長時間和最短時間．