Question

如圖所示，在圓柱形房屋天花板中心O點懸掛一根長為L的細繩，繩的下端掛一個質量為m的小球，已知繩能承受的最大拉力為2mg，小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墻腳邊．
求（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁；
（2）圓柱形房屋的高度H和半徑．

Answer 1

分析：（1）小球在水平面仙做圓周運動時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解速度v₁；
（2）小球在繩子斷開后做平拋運動，根據動能定理求得小球下落的高度h，H=h+Lcosθ．由平拋運動的規律求解半徑．

解答：解：（1）分析小球的受力情況，
   Tcosθ=mg
   Tsinθ=m

v 2 1

Lsinθ

解得θ=60°，v₁=

3 2 gL

（2）由動能定理有，
 mgh=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

解得h=

9

4

L
所以H=h+Lcosθ=

11

4

L
由平拋運動的規律，有
  h=

1

2

gt2
由幾何知識得R=

(Lsinθ)2+(v1t)2

=3L
答：
（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁為

3 2 gL

．
（2）圓柱形房屋的高度H和半徑分別為

11

4

L和3L．

點評：本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用，要求同學們能畫出小球運動的軌跡，能結合幾何關系解題，難度適中．