Question

如圖所示，在圓柱形房屋天花板中心O點懸掛一根長為L的細繩，繩的下端掛一個質量為m的小球，已知繩能承受的最大拉力為2mg，小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墻腳邊．求：
（1）繩斷裂瞬間的速度v₁；
（2）圓柱形房屋的高度H．

Answer 1

分析：（1）根據繩子的最大拉力，結合平行四邊形定則求出繩子與豎直方向的夾角，根據合力提供向心力求出繩斷裂瞬間的速度．
（2）根據機械能守恒定律求出繩斷裂時小球距離地面的高度，從而求出房屋的高度．

解答：解：繩斷裂前小球作圓錐擺運動，繩斷裂后小球沿切線方向作平拋運動，直到落地，小球作平拋運動的過程滿足機械能守恒定律．
（l）小球在繩斷前瞬時受力如圖所示
由于T_m=2mg，cosθ=

mg

Tm

=

1

2

，θ=60⁰
F_合=mgtan60°=m

v12

r

，r=Lsinθ解得v₁=

3gL 2

．
（2）小球從拋出到落地，根據機械能守恒定律

1

2

mv₁²+mgh₁=

1

2

mv₂²
式中h₁為繩斷裂時小球距地面的高度，由上式解得h₁=

v22-v12

2g

=

11

4

L
設繩斷裂時小球距天花板的高度為h₂，則h₂=Lcos60°=L
故房屋高度H=h₁+h₂=

13L

4

答：（1）繩斷裂瞬間的速度v₁=

3gL 2

．
（2）圓柱形房屋的高度H為

13L

4

．

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律，知道物體做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解．