Question

如圖所示，在圓柱形房屋天花板中心O點懸掛一根長為L的細繩，繩的下端掛一個質量為m的小球，已知繩能承受的最大拉力為F_T=2mg，小球在水平面內做圓周運動，當小球速度慢慢地逐漸增大到繩斷裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墻腳邊（小球下落過程中沒有與房屋發生碰撞，且不計空氣阻力）．求：
（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁
（2）繩斷裂瞬間小球地面的豎直高度h
（3）圓柱形房屋的半徑R．

Answer 1

分析：（1）小球在水平面內做勻速圓周運動時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解速度v₁；
（2）、（3）小球在繩子斷開后做平拋運動，根據動能定理求得小球下落的高度h，由平拋運動的規律和幾何知識求解半徑R．

解答：解：（1）繩斷裂瞬間，對小球的受力分析（如下圖），根據牛頓第二定律，有：
  F_Tcosθ=mg…①
  FTsinθ=m

v 2 1

r

…②
且  F_T=2mg…③
   r=Lsinθ…④
聯①②③④式，代入數據解得：θ=60°，v1=

3gL 2

…⑤
（2）小球從拋出至落地，由動能定理有：mgh=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

…⑥
代入數據，解得：h=

9

4

L…⑦
（3）繩斷后，小球做平拋運動，且有：
  h=

1

2

gt2…⑧
  x=v₁t…⑨
  R=

(Lsinθ)2+x2

…⑩
解得：R=3L…（11）
答：（1）繩斷裂瞬間小球的速度v₁是

3 2 gL

．
（2）繩斷裂瞬間小球地面的豎直高度h是

9

4

L．
（3）圓柱形房屋的半徑R是3L．

點評：本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用，要求同學們能畫出小球運動的軌跡，能結合幾何關系解題，難度適中．