Question

如圖所示，在y軸上A點沿平行x軸正方向以v₀發射一個帶正電的粒子，在該方向上距A點3R處的B點為圓心存在一個半徑為R的圓形有界的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外，當粒子通過磁場后打到x軸上的C點，且速度方向與x軸正向成60°角斜向下，已知帶電粒子的電量為q，質量為m，粒子的重力忽略不計，O點到A點的距離為2

3

R．求：
（1）該磁場的磁感應強度B的大小
（2）若撤掉磁場，在該平面內加上一個與y軸平行的有界勻強電場，粒子仍按原方向入射，當粒子進入電場后一直在電場力的作用下打到x軸上的C點且速度方向仍與x軸正向成60°角斜向下，則該電場的左邊界與y軸的距離為多少？
（3）若撤掉電場，在該平面內加上一個與（1）問磁感應強度大小相同的矩形有界勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，粒子仍按原方向入射，通過該磁場后打到x軸上的C點且速度方向仍與x軸正向成60°角斜向下，則所加矩形磁場的最小面積為多少？

Answer 1

（1）帶電粒子離開磁場時，速度偏轉60°角，軌跡如圖1．
由幾何關系可得：r=

3

R
根據：Bqv0=

m v 20

r

求得：B=

3 mv0

3qR

（2）粒子做類平拋運動以60°角打到C點，其速度方向的反向延長線過B點，由平拋知識可得速度的方向延長線平分水平位移．如圖2所示．
由幾何知識求出其水平位移的一半．
BD=2

3

Rtan30°=2R
所以電場的左邊的邊界到B的距離是2R，因此電場的左邊到y軸的距離為R．
（3）由左手定則可知，粒子進入磁場后向上偏轉，并最終沿BC的方向離開磁場，由于磁場的磁感應強度與（1）相同，所以粒子運動的半徑不變，以入射方向和出射方向為切線畫圓，則為粒子的運動軌跡，如圖所示．切點E、F分別為入射點和出射得，即為磁場的兩個邊界點，則矩形的最小面積應滿足有三條邊與圓軌跡相切，第四條邊過EF 如圖．
由幾何知識可得，矩形邊長為a：a=2r=2

3

R
矩形短邊為b：b=r+rcos30°=

2 3 +3

2

R
所以矩形的最小面積為：Smin=a?b=(6+3

3

)R2
答：（1）該磁場的磁感應強度B=

3 mv0

3qR

；
（2）若在該平面內加上一個與y軸平行的有界勻強電場該電場的左邊界與y軸的距離為2R；
（3）若加上一個與（1）問磁感應強度大小相同的矩形有界勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，則所加矩形磁場的最小面積為Smin=a?b=(6+3

3

)R2．