Question

如圖所示，斜面的傾角θ=37°，斜面的底端有一個光滑的半圓形軌道與斜面底端B點相接．質量為m=50kg的物體，從斜面的頂點A處以v₀=20m/s沿水平方向飛出，剛好落在斜面底端B處，其豎直速度立即變為零，然后進入半圓形軌道恰好能通過最高點C．（cos37°=0.8，sin37°=0.6，g取10m/s²，不計空氣阻力）求：
（1）半圓軌道的半徑R；
（2）物體從A運動到B的時間t；
（3）如圖，圓弧上點D與圓心連線與水平面平行，求小球過D點時對軌道的壓力大小．

Answer 1

分析：（1）根據小球恰好到達最高點，得出最高點的速度，根據B點到最高點過程機械能守恒，求出半圓軌道的半徑R．
（2）平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，根據豎直位移和水平位移之比得出運動的時間．
（3）根據機械能守恒求出到達D點的速度，通過徑向的合力提供向心力求出小球過D點時對軌道的壓力大小．

解答：解：（1）設半圓形軌道的半徑為R，因為物體恰好到達最高點，所以只有重力提供向心力．
設最高點的速度為v，則有：mg=m

v2

R

．
從B點到最高點的過程，機械能守恒，則有：

1

2

mv∥2=

1

2

mv2+2mgR．
根據題意有：v_∥=v₀．
代入數據，聯立解得：R=8m．
（2）從A到B的過程，做平拋運動，水平方向上有：x=v₀t，豎直方向上有：y=

1

2

gt2．
因為

y

x

=tan37°
解得：t=

2v0tan37°

g

=3s．
（3）根據機械能守恒定律得：

1

2

mv∥2=

1

2

mvD2+mgR(1-sinθ)
代入數據，解得：v_D=4

21

m/s．
根據牛頓第二定律得：N-mgsin37°=m

vD2

R

代入數據解得：N=2400N．
根據牛頓第三定律知，小球在D點對軌道壓力大小為2400N．
答：（1）半圓軌道的半徑R為8m；
（2）物體從A運動到B的時間t為3s；
（3）小球過D點時對軌道的壓力大小為2400N．

點評：本題考查了圓周運動和平拋運動的綜合，涉及到牛頓第二定律和機械能守恒定律的運用，知道圓周運動向心力的來源和平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律是解決本題的關鍵．