Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限以O(shè)N為直徑的半圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸上y=h處的M點(diǎn)，以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上x(chóng)=2h處的P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，最后以垂直于y軸的方向射出磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力．求
（1）在原圖上畫(huà)出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（4）粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的總時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出速度偏向角；
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的水平分位移公式和豎直分位移公式以及牛頓第二定律列式求解；
（3）對(duì)類似平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)用動(dòng)能定理求解出末速度，對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解出軌道半徑；
（4）先求解出類似平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后根據(jù)幾何關(guān)系得到圓弧的圓心角，最后根據(jù)周期公式求解出圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最后得到總時(shí)間．

解答：解：（1）類似平拋運(yùn)動(dòng)速度偏轉(zhuǎn)角的正切：tanθ=2tanα=2×

y

x

=1，故θ=45°；
故粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示；
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁
x方向：2h=v₀t₁
y方向：h=

1

2

at₁²
根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma
聯(lián)立以上三式，解得：E=

m v 2 0

2qh

故電場(chǎng)強(qiáng)度為

m v 2 0

2qh

．
（3）類平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理：Eqh=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
將E的表達(dá)式代入上式，得：v=

2

v₀
由：Bqv=m

v2

r

得：r=

2 mv0

Bq

故圓弧的半徑為

2 mv0

Bq

．
（4）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=

2h

v0

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πr

v

=

2πm

Bq

根據(jù)粒子入射磁場(chǎng)時(shí)與x軸成45°，射出磁場(chǎng)時(shí)垂直于y軸，可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為135°．
故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=

3

8

T
求出 t=t₁+t₂=

2h

v0

+

3πm

4Bq

故粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

2h

v0

+

3πm

4Bq

．
答：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度為

m v 2 0

2qh

．
（3）圓弧的半徑為

2 mv0

Bq

．
（4）粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

2h

v0

+

3πm

4Bq

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系，分為類似平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析計(jì)算．