Question

如圖所示，直角坐標平面xOy內有一條直線AC過坐標原點O與x軸成45°夾角，在OA與x軸負半軸之間的區域內存在垂直xOy平面向外的勻強磁場B，在OC與x軸正半軸之間的區域內存在垂直xOy平面向外的勻強磁場B₂．現有一質量為m，帶電量為q（q＞0）的帶電粒子以速度v從位于直線AC上的P點，坐標為（L，L），豎直向下射出，經測量發現，此帶電粒子每經過相同的時間T，會再將回到P點，已知距感應強度B2=

mv

qL

．（不計粒子重力）
（1）請在圖中畫出帶電粒子的運動軌跡，并求出勻強磁場B₁與B₂的比值；（B₁、B₂磁場足夠大）
（2）求出帶電粒子相鄰兩次經過P點的時間間隔T；
（3）若保持磁感應強度B₂不變，改變B₁的大小，但不改變其方向，使B1=

mv

2qL

．現從P點向下先后發射速度分別為

v

4

和

v

3

的與原來相同的帶電粒子（不計兩個帶電粒子之間的相互作用力，并且此時算作第一次經過直線AC），如果它們第三次經過直線AC時軌跡與AC的交點分別 記為E點和F點（圖中未畫出），試求EF兩點間的距離．
（4）若要使（3）中所說的兩個帶電粒子同時第三次經過直線AC，問兩帶電粒子第一次從P點射出時的時間間隔△t要多長？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解軌道半徑；真空中做勻速直線運動；畫出軌跡；
（2）根據t=

θ

2π

?T和T=

2πm

qB

求解出圓周運動的時間，再求解出勻速直線運動的時間后相加即可；
（3）粒子做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求解出半徑之間的關系，然后畫出對應的軌跡，得到EF間距；
（4）兩帶電粒子在同一磁場中的周期相同，轉過的圓心角也相同，故在同一磁場中的運動時間相同，所以時間間隔△t就是直線運動的時間差．

解答：解：（1）帶電粒子從P點勻速運動到Q點，然后作半徑為：qvB2=m

v2

R2

?R2=

mv

qB2

=L的勻速圓周運動，運動到H點時的速度方向與AC垂直，從H點勻速運動到D點，后作勻速圓周運動到P點．
根據平面幾何知識可知：

.

PO

=

.

OD

=

2

L，四邊形AODOR₁R為棱形，OR₁R為圓心，即帶電粒子在勻強磁場BR₁R中作勻速圓周運動時的半徑RR₁R為

2

L，根據qvB1=m

v2

R1

，
得：B1=

2 mv

2qL

=

2

2

B2；
（2）T=t₁+t₂+t₃+t₄
t1=

L

v

，
t2=

3

8

T2=

3πL

4v

，
t3=

L

v

，
t4=

5

8

T2=

5 2 πL

4v

解得：T=t1+t2+t3+t4=

(8+3π+5 2 π)L

4v

；
（3）兩帶電粒子在磁場BR₂R中運動時的半徑為：R′2=

m v 4

qB2

=

L

4

，
R″2=

m v 3

qB2

=

L

3

B1=

mv

2qL

=

B2

2

，
故粒子在磁場BR₁R中的運動半徑：
R1=

mv

qB1

=2R2，
則兩帶電粒子都剛好運動

1

4

圓周到達A點，所以EF兩點間的距離EF=0（如圖所示）；
（4）兩帶電粒子在同一磁場中的周期相同，轉過的圓心角也相同，故在同一磁場中的運動時間相同，所以時間間隔△t就是直線運動的時間差：
△t=

L+ L 2

v 4

-

L+ L 3

v 3

=

2L

v

；
答：（1）帶電粒子的運動軌跡如圖所示，勻強磁場B₁與B₂的比值為

2

2

；
（2）帶電粒子相鄰兩次經過P點的時間間隔T為

(8+3π+5 2 π)L

4v

；
（3）EF兩點間的距離為0．
（4）兩帶電粒子第一次從P點射出時的時間間隔△t為

2L

v

．

點評：本題關鍵明確粒子的運動性質，畫出運動軌跡，然后分勻速圓周運動和直線運動階段討論．