Question

在22世紀末，一宇航員乘宇宙飛船到達一半徑為r的某星球地面，（該星球地面的重力加速度g未知）．他將所帶的一個如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B以不同速率從半圓管下入口處進入管內，測得A通過最高點C后，從C點平拋飛落到水平面上耗時為T．測得B通過最高點C時，對管壁上下部的壓力均為0，還測得A、B兩球落地點間的水平距離差為4R，且A球射出C點時的速度v_A大于B球射出C點時的速度v_B，已知萬有引力恒量為G，忽略該星球的自轉，球的體積公式為V=

4

3

πr³．求：
（1）該星球地面的重力加速度g；
（2）該星球的密度ρ；
（3）A通過最高點C時，管壁上部對A的壓力為多大？

Answer 1

（1）A球從C點作平拋運動，則有：2R=

1

2

gT2…①
得出該星球地面的重力加速度：g=

4R

T2

…②
（2）根據萬有引力等于物體在該星球上的重力，即：G

Mm

r2

=mg…③
星球的密度為：ρ=

M

V

…④
球的體積公式為：V=

4

3

πr³…⑤
聯立②～⑤式，得：ρ=

3R

πGT2r

…⑥
（3）A球在最高點C時，受重力和管壁對A的壓力，這兩個力的合力提供向心力，由牛頓第二定律，有：F+mg=m

v 2A

R

…⑦
同樣，B球在C點由重力提供向心力，由牛頓第二定律，有：mg=m

v 2B

R

…⑧
A、B兩球落地點間的水平距離差為4R，有：v_AT-v_BT=4R…⑨
聯立②⑦⑧⑨式得：F=

32mR

T2

…⑩
答：（1）該星球地面的重力加速度為

4R

T2

；
（2）該星球的密度為ρ=

3R

πGT2r

；
（3）A通過最高點C時，管壁上部對A的壓力為

32mR

T2

．