Question

（2013?商丘二模）如圖所示，K是粒子發生器，D₁、D₂、D₃是三塊擋板，通過自動控制裝置可以控制它們定時開啟和關閉，D₁、D₂的間距為L，D₂、D₃的間距為

L

2

．在以O為原點的直角坐標系Oxy中有一磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，y軸和直線MN是它的左、右邊界，且MN平行于y軸．現開啟擋板D₁、D₃，粒子發生器僅在t=O時刻沿x軸正方向發射各種速率的粒子，D₂僅在t=nT（n=0、1、2…，T為一定值）時刻開啟，在t=5T時刻，再關閉擋板D₃，使粒子無法進入磁場區域．已知擋板的厚度不計，粒子質量為m、電荷量為+q（q大于0 ），不計粒子的重力，不計粒子間的相互作用，整個裝置都放在真空中．
（1）求能夠進入磁場區域的粒子速度大小．
（2）已知從原點O進入磁場中速度最小的粒子經過坐標為（0cm，2cm）的P點，應將磁場的右邊界MN在Oxy平面內如何平移，才能使從原點O進入磁場中速度最大的粒子經過坐標為（3

3

cm，6cm）的Q點？

Answer 1

分析：（1）粒子必須在D₃關閉前進入磁場才行，粒子由D₁到D₂和由D₂到D₃都是勻速直線運動，可得運動時間表達式，兩段時間之和應小于等于5T，可解得能夠進入磁場區域的粒子的速度．
（2）由進入磁場中速度最小的粒子經過坐標為（0cm，2cm）的P點可確定其軌道半徑，進而確定最小速度；由（1）得到的速度表達式，可得最大速度，由速度關系可確定速度最大粒子的半徑，做出運動軌跡圖，由幾何關系來判定該如何移動磁場的右邊界MN．

解答：解：
（1）設能夠進入磁場區域的粒子速度大小為v_n，由題意，粒子由D₁到D₂經歷的時間為：
△t₁=

L

vn

=nT（n=1、2…），
粒子由D₂到D₃經歷的時間為：
△t₂=

L

2vn

=

nT

2

，
t=5T時刻，擋板D₃關閉，粒子無法進入磁場，故有：
△t=△t₁+△t₂≤5T，
聯立以上三式解得：
n=1、2、3．
所以，能夠進入磁場區域的粒子的速度為：
vn=

L

nT

（ n=1、2、3）．
（2）進入磁場中速度最小的粒子能經過P點，可知此時半徑最小為R=1cm．而：
qvB=

mv2

R

，
所以，粒子做圓周運動的半徑：
R=

mv

qB

．
由前可知，進入磁場粒子的最大速度為最小速度的3倍，故：
R'=3R=3cm，
其圓心坐標E（0，3m），如圖所示，粒子應從F點沿切線方向離開磁場到達Q點．

設∠GQE=θ，則：
tanθ=

3

3 3

=

3

3

，θ=30°，
由幾何知識可知，∠HFE=θ=30°，
所以：
HF=R'cos30°=

3 3

2

cm．                    
因此，只要將磁場邊界的MN平移到F點，速度最大的粒子在F點穿出磁場，將沿圓軌跡的切線方向到達Q點．       
答：（1）能夠進入磁場區域的粒子速度大小為：vn=

L

nT

（ n=1、2、3）．
（2）已知從原點O進入磁場中速度最小的粒子經過坐標為（0cm，2cm）的P點，將磁場邊界的MN平移到F點，才能使從原點O進入磁場中速度最大的粒子經過坐標為（3

3

cm，6cm）的Q點．

點評：該題的關鍵點在于做速度最大粒子的軌跡圖，帶點粒子在磁場中運動，在混合場中的運動等問題，最重要的就是做運動軌跡圖，做這種圖首先要能確定半徑，其次要確定初末速度的方向．