Question

【題目】如圖所示，AB是傾角θ=45°的傾斜軌道，BC是一個水平軌道（物體經過B處時無機械能損失），AO是一豎直線，O、B、C在同一水平面上，豎直平面內的光滑圓形軌道最低點與水平面相切與C點，已知A、O兩點間的距離h=1m，B、C兩點間的距離d=2.0m，圓形軌道的半徑R=1m。一質量m=2kg的小物體，從與O點水平距離x0=3.6m的P點水平拋出，恰好從A點以平行斜面的速度進入傾斜軌道，最后進入圓形軌道。小物件與傾斜軌道AB、水平軌道BC之問的動摩擦因數都是μ=0.5，g取10m/s2）。

(1)求小物體從P點拋出時的速度v0和P點的高度H；

(2)求小物體運動到圓形軌道最高點D時，對圓形軌道的壓力；

(3) 若小物體從Q點水平拋出，恰好從A點以平行斜面的速度進入傾斜軌道，最后進入圓形軌道，且小物體不能脫離軌道，求Q、O兩點的水平距離x的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)6m/s，2.8m；(2)N=24N；(3)0.5m＜x≤15m或x≥3m

【解析】

(1)小物體從P到A做平拋運動，由題知，物體經過A點時速度平行于斜面向下，設物體經過A點時豎直分速度大小為vy，如圖所示

則有

vy＝v0tan45°＝v0，

又

可得

，

水平距離

聯立解得

v0＝6m/s，H＝2.8m

(2)物體從P到D的過程，由動能定理得：

在D點，由牛頓第二定律得

聯立解得

N＝24N

由牛頓第三定律知，物體對圓形軌道的壓力大小為24N。

(3)要保證小物體不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：第一種情況，能通過最高點D，第二種情況，所能到達的最高點小于等于圓心的高度。

第一種情況，小球能通過最高點D時，設O、Q的水平距離為x1，恰好通過圓形軌道的最高點D。小物體從Q點水平拋出后，恰好從A點以平行于斜面的速度進入傾斜軌道時，根據第1問可得小物體到達A點的速度

恰好通過圓形軌道的最高點D時，只有重力充當向心力，得

由動能定理得

代入數據解得

x1＝3m

小物體能通過最高點D，所以O、Q的水平距離

x≥x1＝3m

第二種情況，所能到達的高度小于等于圓心的高度時，設O、Q的水平距離為x2，恰好到達圓心高度。小物體從Q點水平拋出后，恰好從A點以平行于斜面的速度進入傾斜軌道時，根據第1問可得小物體到達A點的速度

恰好到達圓心的高度時，末速度為0，由動能定理得

代入數據解得

x2＝1.5m

設O、Q的水平距離為x3時，恰好到達圓形軌道處，小物體從Q點水平拋出后，恰好從A以平行于斜面的速度進入傾斜軌道時，根據第1問可得小物體到達A點的速度

恰好到達圓形軌道時，到C點的速度為0。由動能定理得

代入數據解得

x3＝0.5m

小物體能進入圓形軌道，不脫離，O、Q的水平距離應滿足：

0.5m<x≤1.5m

綜上所述，若小物體從Q點水平拋出，恰好從A點以平行斜面的速度進入傾斜軌道，最后進入圓形軌道，且小物體不能脫離軌道，Q、O兩點的水平距離x的取值范圍為

0.5m<x≤1.5m或x≥3m