Question

如圖所示，質量為m的U型金屬框M′MNN′，靜放在傾角為θ的粗糙絕緣斜面上，與斜面間的動摩擦因數為μ，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力；MM′、NN′邊相互平行，相距L，電阻不計且足夠長；底邊MN垂直于MM′，電阻為r；光滑導體棒ab電阻為R，橫放在框架上；整個裝置處于垂直斜面向上、磁感應強度為B的勻強磁場中．在沿斜面向上與ab垂直的拉力作用下，ab沿斜面向上運動．若導體棒ab與MM′、NN′始終保持良好接觸，且重力不計．則：
（1）當導體棒ab以速度v₀勻速時，框架保持靜止，求此時ab兩端的電壓以及作用在ab上的拉力大小．
（2）當框架恰好將要沿斜面向上運動時，導體棒ab的速度v是多少？
（3）在第（1）問中，為使導體棒ab沒有電流，可讓磁感應強度大小隨時間發生變化．設t=0時的磁感應強度大小為B₀，ab與MN相距d₀，請寫出磁感應強度大小隨時間變化的表達式．

Answer 1

分析：（1）由法拉第電磁感應定律求解電動勢，由閉合電路歐姆定律求解ab兩端的電壓，導體棒ab以速度v₀勻速，重力不計，故拉力等于安培力；
（2）當框架恰好將要沿斜面向上運動時，對框架受力分析，列沿斜面方向的平衡方程，可得MN棒所受安培力的大小，進而求得電流，應用閉合電路歐姆定律和法拉第電磁感應定律求得導體棒ab的速度；
（3）為使導體棒ab沒有電流，應穿過abMN回路磁通量保持不變，據此寫出感應強度大小隨時間變化的表達式．

解答：解：（1）ab中的感應電動勢E₀=BLv₀ 
回路中電流I0=

E0

R+r

 
ab兩端的電壓U=I0r=

BLv0r

R+r

 
作用在ab上的拉力大小 F拉=F安=BI0L=

B2L2v0

R+r

；
（2）當框架恰好將要沿斜面向上運動時，MN受到的安培力：
F_安=BIL=mgsinθ+μmgcosθ
故：I=

mg(sinθ+μcosθ)

BL

又I=

E

R+r

 
由法拉第電磁感應定律得：E=BLv 
解得：v=

mg(R+r)(sinθ+μcosθ)

B2L2

；
（3）要使導體棒ab沒有電流，則通過回路abNM的磁通量不變，有：
B₀d₀L=BL（v₀t+d₀）                         
解得：B=

B0d0

v0t+d0

；
答：（1）此時ab兩端的電壓為

BLv0r

R+r

，作用在ab上的拉力

B2L2v0

R+r

（2）當框架恰好將要沿斜面向上運動時，導體棒ab的速度解得v=

mg(R+r)(sinθ+μcosθ)

B2L2

（3）磁感應強度大小隨時間變化的表達式為B=

B0d0

v0t+d0

點評：產生感應電流的條件是磁通量變化為零；導體切割磁感線產生感應電動勢時，導體相當于電源，注意應用閉合電路歐姆定律，在涉及導體的運動時，注意分析安培力的大小和方向．