Question

如圖所示，質量為M、長度為L的均勻橋板AB，A端連在橋墩上可以自由轉動，B端擱在浮在水面的方形浮箱C上，一輛質量為m的汽車P從A處勻速馳向B處，設浮箱為長方體，上下浮動時上表面保持水平，并始終在水面以上，上表面面積為S，水密度為ρ，汽車未上橋面時橋面與浮箱上表面的夾角為α，汽車在橋面上行駛的過程中，浮箱沉入水中的深度增加，求：
（1）汽車未上橋時，橋板的B端對浮箱C的壓力；
（2）浮箱沉入水中的深度的增加量△H跟汽車P離橋墩A的距離x的關系（汽車P可以看做一個質點）．

Answer 1

分析：（1）汽車未上橋時，以A為支點，對桿而言，有重力力矩和支持力力矩，根據力矩平衡條件得到支持力，最后根據牛頓第三定律得到壓力；
（2）浮力增加量為ρgS△H，依然以A為支點，對桿再次運用力矩平衡條件列式求解即可．

解答：解：（1）汽車未上橋時，以A為支點，對桿而言，有重力力矩和支持力力矩，根據力矩平衡條件，有：
Mg

L

2

cosα=FLcosα
解得：F=

1

2

Mg
根據牛頓第三定律，橋板的B端對浮箱C的壓力也為

1

2

mg；
（2）對浮箱有：F_浮=G_C+F
設車上橋后橋面與浮箱上表面的夾角為θ，則
Mg

L

2

cosθ+mgxcosθ=F’Lcosθ
解得：F’=

1

2

Mg+mg

x

L

△F_浮=F’-F=mg

x

L

=ρgS△H
故△H=

m

ρLS

x．
答：（1）汽車未上橋時，橋板的B端對浮箱C的壓力為

1

2

Mg；
（2）浮箱沉入水中的深度的增加量△H跟汽車P離橋墩A的距離x的關系為△H=

m

ρLS

x．

點評：本題有一道競賽題改編而來，關鍵兩次根據力矩平衡條件列式求解，找出各個力據是關鍵．