Question

如圖所示，質量為m的物體放在彈簧上，在豎直方向上做簡諧運動，當振幅為A時，物體對彈簧的最大壓力是物重的1.5倍，求：
（1）該簡諧運動的平衡位置在何處？
（2）物體對彈簧的最小壓力是多少？
（3）要使物體在振動中不離開彈簧，振幅不能超過多大？

Answer 1

分析：（1）根據物體受到的重力與彈力相等處，即為平衡位置；
（2）木塊在最高點時，對彈簧的壓力最小．木塊在最高點和最低點的加速度大小相等，方向相反，根據牛頓第二定律求出最低點的加速度，從而得知最高點的加速度，根據牛頓第二定律求出木塊對彈簧的壓力．
（3）欲使木塊不脫離彈簧，知最高點彈簧處于原長，物塊的加速度為g，知最低點的加速度也為g，方向豎直向上，根據F=-kx，求出振幅的大小與A的關系．

解答：解：（1）回復力為零的位置，即為平衡位置，因此當重力與彈力大小相等，方向相反處．
（2）因為木塊在豎直方向上做簡諧運動，依題意木塊在最低點時對彈簧的壓力最大，在最高點對彈簧的壓力最小．
在最低點根據牛頓第二定律有F_N-mg=ma，代入數據解得a=0.5 g．
由最高點和最低點相對平衡位置對稱，加速度大小等值反向，所以最高點的加速度大小為a′=0.5 g，在最高點根據牛頓第二定律有mg-F_N′=ma′，
故F_N′=mg-ma′=0.5 mg．
答：木塊對彈簧壓力的最小值為0.5mg．
（2）要使木塊不脫離彈簧，設其振幅不能超過A′，此時木塊振到最高點恰在彈簧原長處，此時的最大加速度為g，由a=-

k

m

x知，當振幅為A時，在最低點有0.5 g=-

k

m

A；
當振幅為A′時，在最高點有g=-

k

m

A′，由此可得A′=2A．
答：（1）簡諧運動的平衡位置在重力和彈力平衡的位置（此時彈簧的壓縮量為2A）； 
（2）物體對彈簧的最小壓力是0.5mg； 
（3）欲使木塊不脫離彈簧，其振幅不能超過2A．

點評：解決本題的關鍵知道簡諧運動的對稱性，最高點和最低點加速度大小相等，方向相反．