Question

如下圖所示，豎直平面（紙面）內有直角坐標系xOy，x軸沿水平方向。在x≤O的區域內存在方向垂直于紙面向里，磁感應強度大小為B₁的勻強磁場。在第二象限緊貼y軸固定放置長為l、表面粗糙的不帶電絕緣平板，平板平行于x軸且與x軸相距h。在第一象限內的某區域存在方向相互垂直的勻強磁場（磁感應強度大小為B₂、方向垂直于紙面向外）和勻強電場（圖中未畫出）。一質量為m、不帶電的小球Q從平板下側A點沿x軸正向拋出；另一質量也為m、帶電量為q的小球P從A點緊貼平板沿x軸正向運動，變為勻速運動后從y軸上的D點進入電磁場區域做勻速圓周運動，經圓周離開電磁場區域，沿y軸負方向運動，然后從x軸上的K點進入第四象限。小球P、Q相遇在第四象限的某一點，且豎直方向速度相同。設運動過程中小球P電量不變，小球P和Q始終在紙面內運動且均看作質點，重力加速度為g。求：

（1）勻強電場的場強大小，并判斷P球所帶電荷的正負；
（2）小球Q的拋出速度v₀的取值范圍；
（3）B₁是B₂的多少倍？

Answer 1

（1）E=  P球帶正電 （2）0＜v₀＜ （3）

根據題意，受力分析如圖所示。

（1）根據題述條件，帶電小球P在電磁復合場中做勻速圓周運動，必有重力與電場力平衡，設所求勻強電場的場強大小為E，有mg=qE      ①
即E=                      ②
小球P緊貼平板運動，其所受洛倫茲力必豎直向上，根據左手定則可知，小球P帶正電。
（2）設小球P緊貼平板勻速運動的速度為v，此時洛倫茲力與重力平衡，有B₁qv=mg     ③
設小球P以速度v在電磁場區域內做圓周運動的半徑為R，有B₂qv=               ④
設小球Q和小球P在第四象限相遇點的坐標為（x，y），有x=R，y＜0                             ⑤
設小球Q運動到相遇點的時間為t₀，水平方向的位移為s，豎直方向的位移為d，有
s=v₀t₀                                                                       ⑥
d=                                                                     ⑦
由題意得，x=s-l，y=h-d                                                      ⑧
聯立各方程，由題意可知，v₀大于0，得0＜v₀＜               ⑨
（3）小球Q做平拋運動，要滿足題設要求，則運動到小球P穿出磁場區域時的同一水平高度時的W點時，其豎直方向的速度v_y和豎直位移y_Q必修滿足
v_y=v                                                                          ⑩
y_Q=R                                                                      （11）
設小球Q運動到W點的時間為t，由平拋運動，有
v_y=gt                                                                          ⑩
y_Q=                                           （11）

聯立相關方程，解得。
【考點定位】帶電小球在混合場中的運動、平拋運動、勻速圓周運動。