Question

如圖所示，傾角均為θ=45°的固定光滑金屬直軌道ce和c'e'，與半徑為r的豎直光滑絕緣圓弧軌道abc和a'b'c'分別相切于c和c'點(diǎn)，兩切點(diǎn)與對(duì)應(yīng)圓心的連線和豎直方向夾角均為θ=45°，e和e'間接有阻值為R的電阻，矩形cc'd'd區(qū)域內(nèi)存在與該平面垂直的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=B₀sin（x），式中x為沿直軌道向下離開(kāi)邊界dd'的距離，且，長(zhǎng)度也為L(zhǎng)、阻值為R的導(dǎo)體棒在外力作用下，從磁場(chǎng)邊界dd'沿直軌道向下勻速通過(guò)磁場(chǎng)，到達(dá)邊界cc'時(shí)撤去外力，導(dǎo)體棒恰能沿圓弧軌道通過(guò)最高處aa'，金屬軌道電阻及空氣阻力均不計(jì)，重力加速度為g，求：
（1）導(dǎo)體棒通過(guò)aa'時(shí)速度υ的大小；
（2）導(dǎo)體棒勻速通過(guò)磁場(chǎng)時(shí)速度υ₀的大小；
（3）導(dǎo)體棒勻速通過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中棒上產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

（1）設(shè)導(dǎo)體棒質(zhì)量為m，恰好通過(guò)圓弧軌道最高處aa′滿足mg=m

v2

r

解得υ=

gr

（2）導(dǎo)體棒從邊界cc′運(yùn)動(dòng)到最高處aa′過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得

1

2

m

v

20

=

1

2

mυ²+mg（r+rcosθ）                                  
解得υ₀=

(3+ 2 )gr

（3）導(dǎo)體棒勻速通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域歷時(shí)t=

l

v0

棒中正弦式交流電的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e=BLυ₀=B₀Lυ₀sin（υ₀t）         
棒中電流的最大值I_m=

B0Lv0

2R

=

(3+ 2 )gr B0L

2R

棒中電流的有效值I_有=

B0Lv0 2R

2

=

(3+ 2 )gr B0L

2 2 R

導(dǎo)體棒產(chǎn)生的熱量Q=I_有²Rt=

(3+ 2 )gr B 20 L2l

8R

答：（1）導(dǎo)體棒通過(guò)aa'時(shí)速度υ的大小是

gr

；
（2）導(dǎo)體棒勻速通過(guò)磁場(chǎng)時(shí)速度υ₀的大小是

(3+ 2 )gr

；
（3）導(dǎo)體棒勻速通過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中棒上產(chǎn)生的熱量是

(3+ 2 )gr B 20 L2l

8R

．