Question

如圖所示，真空中有以O′為圓心，r為半徑的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直紙面向外，磁感應強度為B。圓的最下端與x軸相切于直角坐標原點O，圓的右端與平行于y軸的虛線MN相切，在虛線MN右側x軸上方足夠大的范圍內有方向豎直向下、場強大小為E的勻強電場，在坐標系第四象限存在方向垂直紙面向里、磁感應強度大小也為B的勻強磁場，現從坐標原點O沿y軸正方向發射速率相同的質子，質子在磁場中做半徑為r的勻速圓周運動，然后進入電場到達x軸上的C點。已知質子帶電量為+q，質量為m，不計質子的重力、質子對電磁場的影響及質子間的相互作用力。求：

（1）質子剛進入電場時的速度方向和大小；
（2）OC間的距離；
（3）若質子到達C點后經過第四限的磁場后恰好被放在x軸上D點處（圖上未畫出）的一檢測裝置俘獲，此后質子將不能再返回電場，則CD間的距離為多少。

Answer 1

（1） 方向沿x軸正方向 （2）r+ （3）

試題分析：（1）質子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
根據牛頓第二定律得qvB=
解得  
質子運動軌跡如下圖，

因為圓形勻強磁場區域的半徑為r，質子在磁場中做勻速圓周運動的半徑也為r，所以四邊形是菱形，由幾何知識知，質子剛進入電場時的速度方向沿x軸正方向．
（2）質子沿y軸正方向射入磁場，則以N為圓心轉過圓弧后從A點垂直電場方向進入電場，進入電場后質子做類平拋運動，設質子電場中運動時間t ， 則在y方向上有
由牛頓第二定律得   qE=ma
解得　
在x方向上，由題意可知x₁=ON=r　
電場中x₂=NC=v
所以OC間的距離為x=x₁+ x₂ =r+
（3）設質子出電場時在豎直方向的速度為，質子合速度為，則
質子合速度與x軸正向夾角的正弦值為sinθ=
質子到達C點后進入第四限的磁場的運動軌跡如下圖所示，設質子在第四限磁場中運動的軌道半徑為R．

根據圓的性質，由幾何知識得：
x₃="CD=" 2R sinθ
質子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律得qvB=，
運動半徑
以上各式聯立解得：x₃="CD=" 2==