Question

如圖所示，質(zhì)量為m、邊長為L的正方形金屬線框，放在傾角為θ的光滑足夠長的斜面的底端，整個裝置處在與斜面垂直的磁場中，在斜面內(nèi)建立圖示直角坐標系，磁感應(yīng)強度在x軸方向分布均勻，在y軸方向分布為B=B₀+ky（k為大于零的常數(shù)）．現(xiàn)給線框沿斜面向上的初速度v₀，經(jīng)時間t₀線框到達最高點，然后開始返回，到達底端前已經(jīng)做勻速運動，速度大小為v₀/4．已知線框的電阻為R，重力加速度為g．求：
（1）線框從開始運動到返回底端的過程中，線框中產(chǎn)生的熱量；
（2）線框在底端開始運動時的加速度大小；
（3）線框上升的最大高度．

Answer 1

分析：（1）線框從開始運動到返回底端的過程中，線框的動能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解線框中產(chǎn)生的熱量；
（2）線框在底端開始運動時線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=△BLv₀，感應(yīng)電流I=

E

R

，線框所受的合安培力為F=△BIL，推導(dǎo)出安培力，再根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（3）在上升過程中，根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達式，又a=

△v

△t

，運用積分法求解最大高度．

解答：解：（1）線框從開始運動到返回底端的過程中，線框的動能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒得：
  Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m(

v0

4

)2=

15

32

m

v

2 0

（2）感應(yīng)電動勢：E=△BLv0=k△yLv0=kL2v0
感應(yīng)電流：I=

E

R

=

kL2v0

R

合安培力：F=△BIL=k△yIL=kIL²=

k2L4v0

R

根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ+F=ma
得：a=gsinθ+

k2L4v0

mR

（3）在上升過程中，由牛頓第二定律，得：mgsinθ+

k2L4v

R

=ma
又a=

△v

△t

，得：
mgsinθ+

k2L4v

R

=m

△v

△t

mgsinθ?△t+

k2L4v

R

△t=m△v
兩邊求和得：
（mgsinθ?△t+

k2L4v

R

△t）=m△v
而△y=v△t
得：（mgsinθ?△t+

k2L4

R

△y）=m△v
解得：mgsinθ?t₀+

k2L4

R

?

h

sinθ

=mv₀
∴h=

(mv0-mgt0sinθ)Rsinθ

k2L4

答：
（1）線框從開始運動到返回底端的過程中，線框中產(chǎn)生的熱量是

15

32

m

v

2 0

；
（2）線框在底端開始運動時的加速度大小是gsinθ+

k2L4v0

mR

；
（3）線框上升的最大高度是

(mv0-mgt0sinθ)Rsinθ

k2L4

．

點評：本題的解題關(guān)鍵有兩個：一是線框中感應(yīng)電動勢有抵消情況，總電動勢為E=△BLv₀；二是運用積分法求解非勻變速運動的位移，切入口是牛頓第二定律和加速度的定義式．