Question

如圖所示，在y＞0的空間中存在勻強電場，場強沿y軸負方向；在y＜0的空間中，存在勻強磁場，磁場方向垂直xOy平面（紙面）向外．一電量為q、質量為m的帶正電的運動粒子，經過y軸上y=h處的點P₁時速率為v₀，方向沿x軸正方向；然后經過x軸上x=2h處的 P₂點進入磁場，并經過y軸上y=-2h處的P₃點．不計重力，求：
（1）粒子從P₁點運動到P₂點所用時間及電場強度的大��；
（2）粒子到達P₂時速度的大小和方向；
（3）磁感應強度的大小及粒子從P₂點運動到P₃點所用時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類平拋運動，即在x軸正方向做勻速直線運動，在y軸負方向上做初速度為0的勻加速直線運動，根據目中給出的位移關系，利用運動的合成與分解求解即可；
（2）根據運動的合成與分解可知，粒子到達P₂時，水平方向速度為v₀，豎直方向速度為v_y=at，已知分運動的情況下，根據合成可以求出粒子速度的大小和方向；
（3）粒子進入磁場后，將在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，畫出粒子的運動軌跡，根據幾何關系求出粒子做圓周運動的半徑，現利用洛倫茲力提供向心力的關系求出磁感應強度的大小，粒子在磁場中運動的時間根據軌跡求出粒子圓周運動轉過的圓心角，再根據時間關系t=

θ

2π

T求解即可．

解答：解：（1）粒子在電場中做類平拋運動，設粒子從P₁到P₂的時間為t，電場強度的大小為E，
粒子在電場中的加速度為a，由牛頓第二定律有：
qE=ma  
故a=

qE

m

粒子在電場中做類平拋運動，即有：
在x軸正方向做勻速直線運動有：
v₀t=2h         
在y軸負方向做初速度為0的勻加速直線運動
h=

1

2

at²
由此可得：t=

2h

v0

，E=

m v 2 0

2qh

；
（2）粒子到達P₂時，速度沿x軸方向的分量仍為v₀，設y軸方向的速度分量為v_y，
則：由于y軸方向做初速度為0的勻加速直線運動，故有：
v_y²=2ah，
可得vy=

2ah

=

2qEh m

=v₀
根據運動的合成可得粒子在P₂點的速度

v=

v 2 0 + v 2 v

=

2

v0
粒子速度方向與x軸方向所夾角的正切值為：
tanθ=

vy

v0

=1
即速度與x軸方向所夾的角為45°；
（3）設磁感應強度為B，粒子做勻速圓周運動，則由洛倫茲力提供圓周運動向心力有：
qvB=m

v2

r

，
即粒子圓周運動的半徑r=

mv

qB

，
如圖：

因為OP₂=OP₃=2h，由幾何關系可知：連線P₂P₃為圓周運動的直徑，則：r=

2

h，
則可解得：B=

mv

qr

=

m 2 v0

q 2 h

=

mv0

qh

，
粒子從P₂運動到P₃剛好經過半個圓周，粒子運動的時間：
t′=

πR

v

=

π 2 h

2 v0

=

πh

v0

答：（1）粒子從P₁點運動到P₂點所用時間為

2h

v0

，電場強度的大小為E=

m v 2 0

2qh

；
（2）粒子到達P₂時速度的大小為E=

m v 2 0

2qh

，方向與x軸成45°角向下；
（3）磁感應強度的大小為

mv0

qh

，粒子從P₂點運動到P₃點所用時間為

mv0

qh

．

點評：本題主要考查帶電粒子在電場中偏轉（做類平拋運動）和帶電粒子在磁場中在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，解決問題的主要方法是抓住運動的合成與分解處理電場中的偏轉，抓住洛倫茲力提供圓周運動向心力和根據幾何關系確定粒子在磁場中運動軌跡及其幾何關系即可．