Question

如圖所示，內壁光滑的木槽質量為m_A=m，內直徑為2L，置于水平桌面上，槽與桌面間的動摩擦因數為μ．槽內有兩個小球B、C，它們的質量分別是m_B=m，m_C=2m．現用兩球將很短的輕彈簧壓緊（球與彈簧不連接），且B球到木槽左端、C球到木槽右端的距離均為L，這時彈簧的彈性勢能為E_P=μmgL．同時釋放B、C球，并假設小球與槽碰撞后不分離，碰撞時間不計．求：
（1）第1個小球與槽碰撞后的共同速度？
（2）第2個小球與槽碰撞后的共同速度？
（3）整個運動過程中，桌面與槽摩擦產生的熱量？

Answer 1

分析：（1）分別對BC和AB為研究對象，由動量守恒及機械能守恒可求得第1個小球一槽碰撞后的共同速度；
（2）AB相撞后，一起向左做勻減速運動，由牛頓第二定律可求得共同的加速度；由運動學公式可求得運動時間，則可判斷C與相撞是A是否停止，再由動量守恒可求得共同速度；
（3）物體之間的相互摩擦產生熱量，由功能關系即可求出產生的總熱量；

解答：解：（1）釋放瞬間：m_Bv_B=m_Cv_C       
E_P=

1

2

mBvB2+

1

2

mCvC2
解得：vB=

4 3 μgL

vC=

1 3 μgL

物體B經時間t₁=

L

vB

=

3L 4μg

先與木槽A相撞    
有：m_Bv_B=（m_A+m_B）v_1共
解得：v_1共=

μgL 3

小球與槽碰撞后的共同速度為

μgL 3

；
（2）木槽A與B球相撞后，一起向左勻減速運動，加速度a=

μ(mA+mB+mC)g

mA+mB

=2μg
木槽A和球B相撞后速度減為0的時間t2=

v1共

a

=

L 12μg

在（t₁+t₂）這段時間內，物體C和槽移動的距離之和為：s=vC(t1+t2)+

1

2

v1共t2=

3

4

L＜L所以在C 與A相撞前A已停止運動
再經過一段時間，球C和木槽相撞，有：m_Cv_C=（m_A+m_B+m_C）v_2共
解得v_2共=

μgL 12

，方向水平向左．
小球與槽碰撞后的共同速度為

μgL 12

，方向水平向左；
（3）第一次相撞后A與B的總動能全都轉化為為摩擦熱Q1=Ek1=

1

2

(mA+mB)v1共2=

1

3

μmgL
第二次相撞后系統的總動能全都轉化為為摩擦熱Q2=Ek2=

1

2

(mA+mB+mC)v2共2=

1

6

μmgL
整個過程中桌面和木槽因摩擦而產生的熱量為Q=Q1+Q2=

1

2

μmgL
桌面與槽摩擦產生熱量為

1

2

μmgL．

點評：木題考查動量守恒定律及功能關系的綜合應用，在解題時要注意各過程中守恒的量，從而得出守恒關系進行解題．