Question

如圖所示，在y＞0的空間中存在勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)沿y軸負(fù)方向；在y＜0的空間中，存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直xy平面（紙面）向外．一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的運(yùn)動粒子，經(jīng)過y軸上y=h處的點(diǎn)P₁時速率為v₀，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過x軸上x=2h處的 P₂點(diǎn)進(jìn)入磁場，并經(jīng)過y軸上y=-2h處的P₃點(diǎn)．不計重力．求
（1）電場強(qiáng)度的大小．
（2）粒子到達(dá)P₂時速度的大小和方向．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（4）粒子從P₁點(diǎn)運(yùn)動到P₃點(diǎn)所用時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做平拋運(yùn)動，由牛頓第二定律及運(yùn)動學(xué)公式，可求得電場強(qiáng)度E的大小；
（2）粒子從P到O的過程中電場力做正功，運(yùn)用動能定理列式，可求得速度的大小；
（3）粒子沿-y方向進(jìn)入磁場時，由左手定則判斷可知粒子向右偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求出其軌跡半徑r，坐標(biāo)x₀=2r．
（4）分段求時間：電場中運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式求時間，磁場中粒子運(yùn)動了半個周期，再求總時間．

解答：解：（1）粒子在電場、磁場中運(yùn)動的軌跡如圖所示．設(shè)粒子從P₁到P₂的時間為t，電場強(qiáng)度的大小為E，粒子在電場中的加速度為a，由牛頓第二定律及運(yùn)動學(xué)公式有
qE=ma 
2h=v₀t  
h=

1

2

at2
解得E=

m v 2 0

2qh

（2）粒子到達(dá)P₂時速度沿x方向的分量仍為v₀，以v₁表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x軸的夾角，則有

v

2 1

=2ahv=

v 2 1 + v 2 0

tanθ=

v1

v0

解得  v=

2

v0；
cosθ=

v0

v

=

2

2

所以：θ=45°
（3）設(shè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在洛侖茲力作用下粒子做勻速圓周運(yùn)動，用r表示圓周的半徑．由牛頓第二定律qvB=m

v2

r

因?yàn)镺P₂=OP₃，θ=45°，由幾何關(guān)系可知，連線P₂P₃為圓軌道的直徑．
由此可求得r=

2

h
解得B=

mv0

qh

（4）粒子在電場中運(yùn)動時間t1=

2h

v0

粒子在電場中運(yùn)動時間t2=

πr

v

粒子從P₁點(diǎn)運(yùn)動到P₃點(diǎn)所用時間t=t₁+t₂
得t=

2h

v0

+

πh

v0

答：（1）電場強(qiáng)度的大小為E=

m v 2 0

2qh

．
（2）粒子到達(dá)P₂時速度的大小為v=

2

v0，方向與水平方向的夾角是45°．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=

mv0

qh

．
（4）粒子從P₁點(diǎn)運(yùn)動到P₃點(diǎn)所用時間t=

2h

v0

+

πh

v0

．

點(diǎn)評：對于帶電粒子先加速后偏轉(zhuǎn)的類型，常規(guī)思路是根據(jù)動能定理求加速獲得的速度，對于磁場中勻速圓周運(yùn)動，結(jié)合軌跡，找出向心力的來源，由牛頓第二定律和幾何知識結(jié)合求解．