Question

如圖所示，斜面軌道AB與水平面之間的夾角θ=53°，BD為半徑R=4m的圓弧形軌道，且B點與D點在同一水平面上，在B點，軌道AB與圓弧形軌道BD相切，整個軌道處于豎直平面內且處處光滑，在A點處的一質量m=1kg的小球由靜止滑下，經過B、C點后從D點斜拋出去，最后落在地面上的S點處時的速度大小v_s=8m/s，已知A點距地面的高度H=10m，B點距地面的高度h=5m，設以MDN為分界線，其左邊為一阻力場區域，右邊為真空區域，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6
（1）小球經過B點的速度為多大？
（2）小球經過圓弧軌道最低處C點時對軌道的壓力多大？
（3）小球從D點拋出后，受到的阻力f與其瞬時速度方向始終相反，求小球從D點至S點的過程中，阻力f所做的功．

Answer 1

分析：（1）小球從A到B的過程中只有重力做功，根據機械能守恒求解小球經過B點的速度．
（2）根據機械能定律求出小球經過C點時的速度．由牛頓第二定律求出軌道對小球的支持力．
（3）小球從D點至S點的過程中，根據動能定理求解阻力f所做的功．

解答：解：（1）設小球經過B點時的速度大小為v_B，對小球從A到B的過程，由機械能守恒得：
    mg(H-h)=

1

2

m

v

2 B

解得：v_B=

2g(H-h)

=

2×10(10-5)

m/s=10m/s．
（2）設小球經過C點時的速度為v_C，由機械能守恒得：mgR(1-cos530)+

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

軌道對小球的支持力N，根據牛頓第二定律可得：N-mg=m

v 2 C

R

由以上兩式得，N=1.8mg+m

v 2 B

R

=1.8×1×10N+1×

102

4

N=43N．
則小球對軌道的壓力為N′=N=43N，則
（3）設小球受到的阻力為f，到達S點的速度為v_S，在此過程中阻力所做的功為W，易知v_D=v_B，
由動能定理可得：mgh+W=

1

2

m

v

2 S

-

1

2

m

v

2 D

代入解得W=-68J
答：
（1）小球經過B點的速度為10m/s．
（2）小球經過圓弧軌道最低處C點時對軌道的壓力43N．
（3）小球從D點至S點的過程中，阻力f所做的功為-68J．

點評：本題是機械能守恒定律、牛頓第二定律、動能定理的綜合應用，常見的陳題．小球從D點拋出后，阻力是變力，不能根據功的計算公式求阻力做功，運用動能定理求變力做功是常用的方法．