Question

（2010?淄博一模）如圖所示，斜面軌道AB與水平面之間的夾角θ=53°，BD為半徑R=4m的圓弧形軌道，且B點與D點在同一水平面上，斜面軌道AB與圓弧軌道相切，整個光滑軌道處于豎直平面內．在A點，一質量m=1kg的小球由靜止滑下，經過B、C點后從D點飛出去．設以豎直線MDN為分界線，其左邊為阻力場區域，右邊為真空區域，小球最后落到地面上的S點處時的速度大小v_s=8m/s．已知A點距離地面的高度H=10m，B點距離地面的高度h=5m，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）小球經過B點的速度大小．
（2）小球經過圓弧軌道最低處C點時對軌道的壓力的大小．
（3）若小球從D點拋出，受到的阻力與其瞬時速度的方向始終相反，求小球從D點到S點過程中，阻力f所做的功．

Answer 1

分析：（1）對AB過程由動能定理或機械能守恒可求得小球經過B點的速度；
（2）由幾何關系可知C點的高度，再由機械能守恒可求得小球在C點的速度；C點小球做圓周運動，由牛頓第二定律可求得C點的壓力；
（3）可對全程分析，根據動能定理可求得阻力所做的功．

解答：解：（1）對AB過程由機械能守恒得：
mg（H-h）=

1

2

mv_B²；
解得：v_B=

2g(H-h)

=

2×10×(10-5)

=10m/s；
（2）由幾何關系BC間的高度h′=R（1-cos53°）=1.6m；
可知，對AC過程由機械能定恒可得：
mg（H-h+h′）=

1

2

mv_c²；
而由牛頓第二定律可得：
F-mg=m

v 2 c

R

聯立以上兩式可得：
F=mg+

mg(H-h+h′)

R

=43N；
（3）對全程分析，全程中有重力、阻力做功，則由動能定理可得：
mgH+W_f=

1

2

mv²；
解得：
W_f=32J-100J=-68J．
答：（1）B點的速度大小為10m/s；（2）C點的支持力為43N；（3）阻力做功為-68J．

點評：對于多過程多力做功的題目，動能定理是最佳解題工具，只要找出過程中各力所做的功，即可由動能定理列式計算；
本題中注意幾何關系的應用，∠COB應恰好等于53°．