Question

【題目】如圖，A、C兩點分別位于x軸和y軸上，∠OCA=30°，OA的長度為L．在△OCA區域內有垂直于xOy平面向里的勻強磁場．質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以平行于y軸的方向從OA邊射入磁場．已知粒子從某點射入時，恰好垂直于OC邊射出磁場，且粒子在磁場中運動的時間為t0 ． 不計重力．

（1）求磁場的磁感應強度的大小；
（2）若粒子先后從兩不同點以相同的速度射入磁場，恰好從OC邊上的同一點射出磁場，求該粒子這兩次在磁場中運動的時間之和；
（3）若粒子從某點射入磁場后，其運動軌跡與AC邊相切，且在磁場內運動的時間為 t0 ， 求粒子此次入射速度的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：粒子在磁場中做勻速圓周運動，在時間t0內其速度方向改變了90°，故其周期

T=4t0 ①

設磁感應強度大小為B，粒子速度為v，圓周運動的半徑為r．由洛倫茲力公式和牛頓定律得

qvB=m ②

勻速圓周運動的速度滿足v= ③

聯立①②③式得：B= ④

答：磁場的磁感應強度的大小為 ；

（2）設粒子從OA邊兩個不同位置射入磁場，能從OC邊上的同一點P射出磁場，粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示．

設兩軌跡所對應的圓心角分別為θ1和θ2．由幾何關系有

θ1=180°﹣θ2 ⑤

粒子兩次在磁場中運動的時間分別為t1與t2，則

t1+t2= =2t0 ⑥

答：該粒子這兩次在磁場中運動的時間之和為2t0；

（3）粒子運動軌跡如圖所示，由題給條件可知，該粒子在磁場區域中的軌跡圓弧對應的圓心角為120°．

設O'為圓弧的圓心，圓弧的半徑為r0，圓弧與AC相切與B點，從D點射出磁場，

由幾何關系和題給條件可知，此時有

∠OO'D=60° ⑦
∠BO'A=30°
根據幾何關系
r0cos∠OO′D+ =L ⑧

設粒子此次入射速度的大小為v0，
v0=

由圓周運動線速度公式，則有：v0= ⑨

答：若粒子從某點射入磁場后，其運動軌跡與AC邊相切，且在磁場內運動的時間為 t0，粒子此次入射速度的大小為 ．

【解析】(1)根據題意，求出速度改變的角度，此角度即為圓心角，進而求出周期是多少 ，根據洛倫茲力公式和向心力公式求出磁感應強度的大小。
（2）同一粒子先后以相同的速度射入磁場，半徑相同，周期相同，畫出粒子在磁場中的運動草圖，結合幾何知識可以求出兩次運動圓心角之和為180度，進而結合周期求出運動時間。
（3）根據粒子在磁場中的運動時間求出運動軌跡所對的圓心角，在結合幾何知識找出半徑和邊長L之間的關系，最后利用線速度公式求此次入射速度的大小。