Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；第Ⅰ、Ⅳ象限某一區(qū)域內(nèi)存在垂直于坐標(biāo)平面向外的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)粒子重力），從M（0，

3

h）點(diǎn)，以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，剛好經(jīng)P（2h，0）點(diǎn)進(jìn)入該圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，最后以垂直于y軸的方向射出該磁場(chǎng)．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（3）滿足題設(shè)條件的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）粒子先垂直進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解場(chǎng)強(qiáng)E的大小．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理可求出粒子進(jìn)入進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v．進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求解軌道半徑r．
（3）粒子從P（2h，0）點(diǎn)進(jìn)入該圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，最后以垂直于y軸的方向射出該磁場(chǎng)，由幾何知識(shí)得到速度v與x軸的夾角．最小的磁場(chǎng)區(qū)域是以入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為直徑的圓．根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答：解：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖所示
（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁
x方向有   2h=v₀t₁
y方向有   

3

h=

1

2

a

t

2 1

根據(jù)牛頓第二定律有Eq=ma
解得：E=

3 m v 2 0

2qh

（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理
 Eq

3

h=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

根據(jù)牛頓第二定律
  Bqv=

mv2

r

解得：r=

2mv0

Bq

（3）設(shè)速度v與x軸的夾角為θ，
則 cosθ=

v0

v

=

1

2

，即θ=60°
由幾何關(guān)系得最小圓的半徑
 R=rsin60°=

3

2

r
最小圓的面積 s=πR²
最小圓的面積 s=

3πm2 v 2 0

B2q2

答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E為

3 m v 2 0

2qh

；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為

2mv0

Bq

；
（3）滿足題設(shè)條件的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為

3πm2 v 2 0

B2q2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)的幾何能力要求較高，關(guān)鍵畫出粒子的軌跡圖，結(jié)合牛頓第二定律以及向心力等知識(shí)進(jìn)行求解．