Question

（14分）如圖所示，在正方形區域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為B的勻強磁場。在t=0時刻，一位于正方形區域中心O的粒子在abcd平面內向各個方向發射出大量帶正電的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁場中做圓周運動的半徑恰好等于正方形邊長，不計重力和粒子之間的相互作用力。已知平行于ad方向發射的粒子在t=t₀時刻剛好從磁場邊界cd上的某點離開磁場，（已知）求：

（1）粒子的比荷；
（2）從粒子發射到粒子全部離開磁場所用的時間；
（3）假設粒子發射的粒子在各個方向均勻分布，在t=t₀時刻仍在磁場中的粒子數與粒子發射的總粒子數之比。

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）初速度平行于方向發射的粒子在磁場中運動的軌跡如圖甲所示，

其圓心為，由幾何關系有
則，即       （2分）
粒子做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供。設粒子做圓周運動的半徑為，根據牛頓第二定律有
,又  （1分）
由以上幾式可得         （1分）
（2）如圖乙所示，在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡應過正方形的頂點。（1分）

設粒子運動軌跡對應的圓心角為，則（2分）
在磁場中運動的最長時間 
所以從粒子發射到粒子全部離開磁場所用的時間為
(2分）
（3）依題意，同一時刻仍在磁場中的粒子到點距離相等，在
時刻仍在磁場中的粒子應位于以為圓心、為半徑的弧上，
如圖丙所示。   （1分）

由幾何關系知  （2分）
此時刻仍在磁場中的粒子數與粒子發射的總粒子數之比為  （2分）