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【題目】如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)．

（1）若甲乙都以每分鐘的速度從點(diǎn)出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端

時(shí)即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲乙兩人之間的距離；

（2）設(shè)，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且，請(qǐng)將甲

乙之間的距離表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離．

【題目】如圖，某公園內(nèi)有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD，已知AB=100米，BC=80米，以AD，BC為直徑的兩個(gè)半圓內(nèi)種植花草，其它區(qū)域種值苗木. 現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內(nèi)修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價(jià)為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價(jià)為每米3a元，修建的總造價(jià)為W元. 設(shè).

（1）求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如何修建道路，可使修建的總造價(jià)最少？并求最少總造價(jià).

【題目】如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計(jì)劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.

（1）當(dāng)θ＝時(shí)，求∠OPQ的大小；

（2）當(dāng)∠OPQ越大時(shí)，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時(shí)，角θ的正弦值．

【題目】如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過(guò)連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長(zhǎng)為y．

（1）設(shè)∠O1AO =(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；

（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最小．

【題目】某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示.圓的圓心與矩形對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切（為上切點(diǎn)），與左右兩邊相交（，為其中兩個(gè)交點(diǎn)），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1，且，設(shè)，透光區(qū)域的面積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；

（2）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當(dāng)該比值最大時(shí)，求邊的長(zhǎng)度.

【題目】某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧（P為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為．

（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；

（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；

（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

【題目】某無(wú)縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管，鋼管有內(nèi)外兩個(gè)口徑，甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和，乙種鋼管內(nèi)外兩個(gè)口徑的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度分別為和.根據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)結(jié)果表明，兩種規(guī)格鋼管每根的長(zhǎng)度都服從正態(tài)分布，長(zhǎng)度在之外的鋼管為廢品，要回爐熔化，不準(zhǔn)流入市場(chǎng)，其他長(zhǎng)度的鋼管為正品.

（1）在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機(jī)抽取10根進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1根為廢品的概率；

（2）監(jiān)管部門規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計(jì)算方式為：若鋼管的內(nèi)外兩個(gè)口徑實(shí)際長(zhǎng)分別為，標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)分別為，則“口徑誤差”為，按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，其中“一級(jí)品”“二級(jí)品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是（正品鋼管中沒(méi)有“口徑誤差”大于的鋼管），現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機(jī)抽取100根，分別進(jìn)行“口徑誤差”的檢測(cè)，統(tǒng)計(jì)后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：

　　　　甲種鋼管　　　　　　　　　　　　　　　乙種鋼管

已知經(jīng)銷商經(jīng)銷甲種鋼管，其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.3，“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.18，“合格品”的利潤(rùn)率為0.1；經(jīng)銷乙種鋼管，其中“一級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.25，“二級(jí)品”的利潤(rùn)率為0.15，“合格品”的利潤(rùn)率為0.08，若視頻率為概率.

（ⅰ）若經(jīng)銷商對(duì)甲、乙兩種鋼管各進(jìn)了100萬(wàn)元的貨，和分別表示經(jīng)銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤(rùn)，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析經(jīng)銷商經(jīng)銷兩種鋼管的利弊；

（ⅱ）若經(jīng)銷商計(jì)劃對(duì)甲、乙兩種鋼管總共進(jìn)100萬(wàn)元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進(jìn)貨多少萬(wàn)元時(shí)，可使得所獲利潤(rùn)的方差和最小？

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，，.

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明恒成立.

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成角為45°，求二面角的大小.