Question

【題目】如圖，某景區內有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝θ.

（1）當θ＝時，求∠OPQ的大小；

（2）當∠OPQ越大時，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）設∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關系式，將其展開化簡并整理后得tanα＝，將θ＝代入得答案；

（2）令f(θ)＝并利用導數求得f(θ)的最大值，即此時的，由（1）可知tanα＝，得答案.

（1）設∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關系式．

因為∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝

在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，設∠OPQ＝α，則∠PQO＝－α＋θ.

由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．

展開并整理，得tanα＝，其中θ∈.

此時當θ＝時，tanα＝.因為α∈(0，π)，所以α＝.

故當θ＝時，∠OPQ＝.

（2）設f(θ)＝，θ∈.

則f′(θ)＝＝.

令f′(θ)＝0，得sinθ＝，記銳角θ0滿足，

則，即

列表如下：

θ	(0，θ0)	θ0
f′(θ)	＋	0	－
f(θ)	單調遞增		單調遞減

由上表可知，f(θ0)＝是極大值，也是最大值．

由（1）可知tanα＝f(θ)>0，則， tanα單調遞增

則當tanα取最大值時，α也取得最大值．

故游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，sinθ＝.