Question

【題目】如圖，某公園內有一塊矩形綠地區域ABCD，已知AB=100米，BC=80米，以AD，BC為直徑的兩個半圓內種植花草，其它區域種值苗木. 現決定在綠地區域內修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價為每米3a元，修建的總造價為W元. 設.

（1）求W關于的函數關系式；

（2）如何修建道路，可使修建的總造價最少？并求最少總造價.

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時，修建的總造價最少，最少總造價為元

【解析】

（1）連NC，AM，設AD的中點為O，連接MO，過N作，垂足為E.

可得，，從而得到W關于的函數關系式；

（2）利用導數知識研究函數的單調性與極值即可.

（1）連NC，AM，設AD的中點為O，連接MO，過N作，垂足為E.

由BC為直徑知，，又米，，

所以米，，

因為MN∥AB，米，所以米，

由于米，

所以米，

因為直路的工程造價為每米2a元，弧形路的工程造價為每米3a元，

所以總造價為

,

，

.

所以W關于的函數關系式為

.

（2）記，

則

，

令，得，列表如下：

	—	0	+
		極小值

所以，當時，取得最小值，

此時，總造價W最少，最少總造價為元.

答：（1）W關于的函數關系式為

；

（2）當時，修建的總造價最少，最少總造價為元.